Nos exercícios seguintes, converter os números para a base decimal, determinando o valor da variável x :
1010101_{2}=x_{10}.

Passo 1

O que o problema pede: converter o número binário \,1010101_2 para base decimal, ou seja, encontrar \,x tal que \,1010101_2 = x_{10}.\n
Informações dadas: o número em base 2 é compostos pelos dígitos (de esquerda para a direita) \,1,0,1,0,1,0,1. Não há mais informações externas necessárias.

Passo 2

Regra que vamos usar (explicada passo a passo): qualquer número em representação posicional base 2 é a soma dos dígitos (bits) multiplicados por potências de 2. Formalmente, se os dígitos são \,b_n b_{n-1}\dots b_1 b_0, então
b_n b_{n-1}\dots b_1 b_0{}_2 = \sum_{k=0}^{n} b_k \cdot 2^{k}.
Aqui \,b_k é o dígito (0 ou 1) na posição de peso \,2^{k}, onde \,k=0 é o dígito mais à direita (unidades), \,k=1 é a posição dos 2s, \,k=2 a dos 4s, etc. Essa é a regra básica de conversão da base binária para decimal.

Passo 3

Identificamos as posições dos dígitos do número \,1010101_2. Da direita para a esquerda (posição \,k):
\begin{array}{c|c c c c c c c} \text{posição }k & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 & 0\\hline \text{dígito }b_k & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}çãí
Ou seja, \,b_6=1,\; b_5=0,\; b_4=1,\; b_3=0,\; b_2=1,\; b_1=0,\; b_0=1.

Passo 4

Aplicando a fórmula da soma das potências de 2 com esses bits, escrevemos a expansão:
1010101_2 = 1\cdot 2^{6} + 0\cdot 2^{5} + 1\cdot 2^{4} + 0\cdot 2^{3} + 1\cdot 2^{2} + 0\cdot 2^{1} + 1\cdot 2^{0}.

Passo 5

Agora calculamos as potências de 2 envolvidas (faça isso na prova sem calculadora, são potências pequenas):
2^{6}=64,\quad 2^{5}=32,\quad 2^{4}=16,\quad 2^{3}=8,\quad 2^{2}=4,\quad 2^{1}=2,\quad 2^{0}=1.

Passo 6

Multiplicamos cada bit pela potência correspondente (os termos com bit 0 desaparecem):
1\cdot 64 + 0\cdot 32 + 1\cdot 16 + 0\cdot 8 + 1\cdot 4 + 0\cdot 2 + 1\cdot 1 = 64 + 0 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1.

Passo 7

Somamos os valores restantes passo a passo:
64 + 16 = 80,
80 + 4 = 84,
84 + 1 = 85.
Portanto o valor decimal correspondente é \,85. Dica rápida: como o número tem 1s nas posições pares (6,4,2,0), estamos somando \,2^{6}+2^{4}+2^{2}+2^{0}, o que leva ao mesmo resultado.

Resposta

x_{10}=85

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