Os exercícios seguintes tratam de aplicações das equações diferenciais de primeira ordem em várias áreas do conhecimento.
(Cronologia do Carbono) Um osso fossilizado contém 11000 da quantidade original de carbono 14 . Determine a idade do fóssil.

Passo 1

O enunciado trata de datação por decaimento radioativo de carbono-14, que satisfaz uma equação diferencial de primeira ordem. Precisamos usar o modelo de decaimento exponencial para relacionar a fração remanescente tfracN(t)N0 com o tempo t e a constante de decaimento lambda.

Passo 2

A equação diferencial do decaimento radioativo é
dNdt = -lambda N,
cuja solução geral é
N(t) = N0 e^-lambda t,
onde N0 é a atividade inicial e N(t) é a atividade após tempo t.

Passo 3

A constante de decaimento lambda está relacionada à meia-vida T1/2 por
lambda = ln(2)T1/2
Para o carbono-14, T1/2 = 5730 anos, logo
lambda = ln(2)5730approx0,00012098 ano^-1

Passo 4

Sabendo que sobrou tfrac11000 do carbono-14 original, temos
N(t)N0 = e^-lambda t = 11000
Tomando logaritmo natural em ambos os lados,
-lambda t = lnl(1/1000r) = -ln(1000),
portanto
t = ln(1000)lambda

Passo 5

Calculando numericamente,
ln(1000) = 3ln(10)approx6,9078,
então
t = 6,90780,00012098approx57100 anos

Resposta

A idade do fóssil é aproximadamente 5,71times10^4 anos, ou cerca de 57100 anos.

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