Os exercícios seguintes tratam de aplicações das equações diferenciais de primeira ordem em várias áreas do conhecimento.
(Cronologia do Carbono) Um osso fossilizado contém
da quantidade original de carbono 14 . Determine a idade do fóssil.
(Cronologia do Carbono) Um osso fossilizado contém
Passo 1
O enunciado trata de datação por decaimento radioativo de carbono-14, que satisfaz uma equação diferencial de primeira ordem. Precisamos usar o modelo de decaimento exponencial para relacionar a fração remanescente
com o tempo
e a constante de decaimento
.
Passo 2
A equação diferencial do decaimento radioativo é
cuja solução geral é
onde
é a atividade inicial e
é a atividade após tempo
.
Passo 3
A constante de decaimento
está relacionada à meia-vida
por
Para o carbono-14,
anos, logo
Passo 4
Sabendo que sobrou
do carbono-14 original, temos
Tomando logaritmo natural em ambos os lados,
portanto
Passo 5
Calculando numericamente,
então
Resposta
A idade do fóssil é aproximadamente
anos, ou cerca de
anos.