Considere as funções
abaixo definidas. Analise cada uma com relação à existência de máximos e mínimos locais e absolutos.
Passo 1
O enunciado define
no intervalo
e pede para identificar máximos e mínimos locais e absolutos. Vamos usar cálculo de derivada, pontos críticos e teste de segunda derivada para classificar os extremos.
Passo 2
Derivando
, temos
Para encontrar os pontos críticos, igualamos
:
logo
.
No intervalo , os valores de
que satisfazem
são
No intervalo
Calculamos a segunda derivada para classificar:
Em
,
portanto há um máximo local. Em
,
logo um mínimo local.
Passo 3
Agora avaliamos
nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo:
Comparando esses valores, o maior é
e o menor é
. Nas extremidades
e
obtemos valor
, que não constitui extremo local pois a derivada não muda de sinal nesses pontos.
Resposta
Máximo local e absoluto:
, com
.
Mínimo local e absoluto: , com
.
Mínimo local e absoluto: