Considere as funções y=f(x) abaixo definidas. Analise cada uma com relação à existência de máximos e mínimos locais e absolutos.
f(x)=sen(x)+cos (x), x in[0,2 pi]

Passo 1

O enunciado define f(x)=sin(x)+cos(x) no intervalo [0,2pi] e pede para identificar máximos e mínimos locais e absolutos. Vamos usar cálculo de derivada, pontos críticos e teste de segunda derivada para classificar os extremos.

Passo 2

Derivando f, temos
f'(x)=cos(x)-sin(x)
Para encontrar os pontos críticos, igualamos f'(x)=0:
cos(x)-sin(x)=0 Longrightarrow tan(x)=1,
logo x=pi4+kpi.
No intervalo [0,2pi], os valores de x que satisfazem tan(x)=1 são
x=pi4 e x=5pi4
Calculamos a segunda derivada para classificar:
f''(x)=-sin(x)-cos(x)
Em x=tfracpi4,
f''l(tfracpi4r)=-tfracraiz22-tfracraiz22=-raiz2<0,
portanto há um máximo local. Em x=tfrac5pi4,
f''l(tfrac5pi4r)=tfracraiz22+tfracraiz22=raiz2>0,
logo um mínimo local.

Passo 3

Agora avaliamos f nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo:
fl(tfracpi4r)=tfracraiz22+tfracraiz22=raiz2, fl(tfrac5pi4r)=-tfracraiz22-tfracraiz22=-raiz2,
f(0)=sin(0)+cos(0)=1, f(2pi)=sin(2pi)+cos(2pi)=1
Comparando esses valores, o maior é f(tfracpi4)=raiz2 e o menor é f(tfrac5pi4)=-raiz2. Nas extremidades x=0 e x=2pi obtemos valor 1, que não constitui extremo local pois a derivada não muda de sinal nesses pontos.

Resposta

Máximo local e absoluto: x=tfracpi4, com f(x)=raiz2.
Mínimo local e absoluto: x=tfrac5pi4, com f(x)=-raiz2.

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