Nos exercícios a seguir, encontre o comprimento de arco da curva de t1 até t2
(a) sigma(t) = (t + l) i - t^2 j + (1 - 2t) k;
t1 = 0, t2 = 2
(b) sigma(t) = sen(2t) i + cos(2t) j + 2t^(3/2) k;
t1 = 0, t2 = 2
© sigma(t) = e^t * cos(t) * i + e^t * sen(t) * j + e^t * k;
t1 = 0, t2 = 2
(d) sigma(t) = t^2 i + (t + t^3 / 3) j + (t - t^3 / 3) k;
t1 = 0, t2 = 2
(e) sigma(t) = 4 t^(3/2) i - 3 sen(t) j + 3 cos(t) k;
t1 = 0, t2 = 2

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o comprimento do arco da curva definida pela função vetorial no intervalo de até . Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco em cálculo, que basicamente nos ajuda a medir o quanto a curva ‘se estende’ entre dois pontos.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma curva parametrizada por :
Aqui, é a derivada da função vetorial em relação a , e representa o comprimento desse vetor derivada.

Passo 3

Vamos achar a derivada da função vetorial dada:
Calculando a derivada componente a componente:
  • Derivada de em relação a é .
  • Derivada de em relação a é .
  • Derivada de em relação a é .
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular a norma desse vetor derivada . A norma de um vetor é dada por:
Aplicando isso à nossa :

Passo 5

Agora, substituímos na fórmula do comprimento de arco e integramos de até :

Passo 6

Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição trigonométrica. Observamos que a expressão dentro da raiz é do tipo , que sugere a substituição:
Vamos calcular os elementos necessários para a substituição:
E substituindo na integral:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 7

A integral de é conhecida e seu resultado é:
Portanto,

Passo 8

Agora, precisamos reverter a substituição trigonométrica para voltar em termos de . Lembrando que:
E, pelo triângulo retângulo, temos:
Substituindo de volta:
Simplificando:

Passo 9

Finalmente, avaliamos a integral definida de a :
Calculando em :
E em :
Portanto, o comprimento do arco é:

Resposta

O comprimento do arco da curva no intervalo de a é dado por:

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