Nos exercícios a seguir, esboce a região de integração, passe para coordenads polares, inteprete o significado geométrico da integral e calcule a integral. Considere ainda alpha>0.
integral0^alpha integral0^raizalpha^2-y^2 x^2+y^2 d x d y.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma integral dupla:
integral0^alpha integral0^raizalpha^2-y^2 (x^2+y^2) , dx , dy
O enunciado pede para esboçarmos a região de integração, mudarmos para coordenadas polares, interpretarmos o significado geométrico da integral e, por fim, calcularmos a integral. Para isso, vamos precisar entender de cálculo integral em coordenadas polares e da geometria da região envolvida.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. As limitações são e . Isso descreve a parte do primeiro quadrante de um círculo de raio , centrado na origem. Ou seja, estamos integrando sobre um setor circular onde e são positivos.

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, qualquer ponto x = r costheta y = r sintheta é representado por , onde:
Além disso, o elemento de área se transforma em . Também, a expressão se simplifica para nas coordenadas polares.

Passo 4

Vamos ajustar os limites de integração para coordenadas polares. Como estamos no primeiro quadrante e dentro de um círculo de raio 0 <= theta <= pi2 0 <= r <= alpha , os limites são:
integral0^pi2 integral0^alpha r^2 cdot r , dr , dtheta = integral0^pi2 integral0^alpha r^3 , dr , dtheta
Então, a integral original fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^alpha r^3 , dr = [ r^44 ]0^alpha = alpha^44 :

Passo 6

Agora, vamos integrar o resultado com relação a integral0^pi2 alpha^44 , dtheta = alpha^44 cdot [ theta ]0^pi2 = alpha^44 cdot pi2 = pi alpha^48 :

Resposta

A integral vale .

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