Nos exercícios a seguir, mostre que a equação diferencial é exata e resolva apli-cando as condições iniciais indicadas…
l(x+y)^2 d x=-(2 x y+x^2-1) d y y(1)=1

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
(x+y)^2,dx=-l(2xy+x^2-1r),dy
com condição inicial y(1)=1.
O conteúdo é EDO exata: para resolver a gente vai
  1. escrever na forma M(x,y),dx+N(x,y),dy=0,
  2. checar se partial M/partial y=partial N/partial x,
  3. encontrar uma função potencial phi(x,y) tal que phix=M e phiy=N,
  4. usar a condição inicial para determinar a constante de integração.

Passo 2

Colocando tudo em um lado, temos
(x+y)^2,dx+(2xy+x^2-1),dy=0
Então definimos
M(x,y)=(x+y)^2, N(x,y)=2xy+x^2-1

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y =partialpartial y(x+y)^2 =2(x+y),
partial Npartial x =partialpartial xl(2xy+x^2-1r) =2y+2x =2(x+y)
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 4

Procuramos phi(x,y) de modo que phix=M. Integramos M em x, tratando y como constante:
phi(x,y) =integral (x+y)^2,dx =integral l(x^2+2xy+y^2r),dx =x^33+x^2y+xy^2+h(y),
onde h(y) é uma função só de y.

Passo 5

Agora impomos phiy=N. Calculamos
phiy =partialpartial yl(x^33+x^2y+xy^2+h(y)r) =x^2+2xy+h'(y)
Como deve ser igual a N=2xy+x^2-1, obtemos
x^2+2xy+h'(y)=2xy+x^2-1 Longrightarrow h'(y)=-1

Passo 6

Integramos h'(y)=-1 em y:
h(y)=-y+constante
Jogando de volta em phi e absorvendo a constante em C, temos a solução implícita geral
phi(x,y) =x^33+x^2y+xy^2-y =C

Passo 7

Aplicamos y(1)=1:
x^33+x^2y+xy^2-y|(x,y)=(1,1) =13+1+1-1 =43
logo C=4/3.

Resposta

A solução que satisfaz a condição inicial é dada implicitamente por
x^33+x^2y+xy^2-y=43

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