Nos exercícios a seguir, mostre que a equação diferencial é exata e resolva apli-cando as condições iniciais indicadas…
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
com condição inicial
.
O conteúdo é EDO exata: para resolver a gente vai
O conteúdo é EDO exata: para resolver a gente vai
- escrever na forma
, - checar se
, - encontrar uma função potencial
tal que e , - usar a condição inicial para determinar a constante de integração.
Passo 2
Colocando tudo em um lado, temos
Então definimos
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Procuramos
de modo que
. Integramos
em
, tratando
como constante:
onde
é uma função só de
.
Passo 5
Agora impomos
. Calculamos
Como deve ser igual a
, obtemos
Passo 6
Integramos
em
:
Jogando de volta em
e absorvendo a constante em
, temos a solução implícita geral
Passo 7
Aplicamos
:
logo
C=4/3 .
Resposta
A solução que satisfaz a condição inicial é dada implicitamente por