Pergunta 20,25 pts
Determine a solução do Problema de Valor Inicial (PVI) y^prime prime(x)+y^prime(x)-2 y(x)=0, y(0)=1 e y^prime(0)=1.
e^x
4 e^x+2 e^-2 x
Nenhuma das outras alternativas.
e^x-e^-2 x
2 e^x-e^-2 x

Passo 1

O problema pede resolver o PVI
y''(x) + y'(x) - 2,y(x) = 0,
com condições y(0)=1 e y'(0)=1.
O conteúdo é equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes; vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Formamos a equação característica associada:
r^2 + r - 2 = 0
Resolvendo-a,
r = -1 pm raiz1 + 82 = -1 pm 32,
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r1 = 1, r2 = -2

Passo 3

Como as raízes são distintas, a solução geral é
y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x = C1 e^x + C2 e^-2x
Para aplicar as condições iniciais, precisamos de y'(x):
y'(x) = C1 e^x - 2,C2 e^-2x

Passo 4

Impondo
Subtraindo a segunda da primeira dá , e daí .

Passo 5

Com C1=1 e C2=0, a solução do PVI é
y(x) = e^x

Resposta

e^x

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