Determine d x / d t, d y / d t e d y / d x.
x=t-ln t, y=t^2-t^-2

Passo 1

O enunciado nos dá a parametrização
x = t - ln t,
y = t^2 - t^-2,
e pede dfracdxdt, dfracdydt e dfracdydx. Vamos usar derivação de funções elementares (potências e logaritmo) e a regra para derivadas paramétricas.

Passo 2

Para calcular dfracdxdt, derivamos termo a termo: a derivada de t é 1 e a derivada de ln t é 1/t. Logo,
dxdt = 1 - 1t

Passo 3

Para calcular dfracdydt, derivamos t^2 e -,t^-2. Temos
ddtl(t^2r) = 2t, ddtl(-t^-2r) = -(-2),t^-3 = 2,t^-3
Portanto,
dydt = 2t + 2,t^-3

Passo 4

A derivada dfracdydx em parametrização é o quociente dfracdy/dtdx/dt:
dydx = 2t + 2,t^-3,1 - tfrac1t,
Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador por t^3:
dydx = 2t^4 + 2t^3l(1 - tfrac1tr) = 2(t^4 + 1)t^2(t-1)

Resposta

dxdt = 1 - 1t\n
dydt = 2t + 2,t^-3\n
dydx = 2t + 2,t^-31 - 1/t = 2,(t^4 + 1)t^2(t-1)

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