Nos exercícios a seguir, resolva as equações diferenciais aplicando uma substituição algébrica apropriada.
(x^2+y^2) d x+(x^2-x y) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
(x^2+y^2),dx + (x^2-x y),dy = 0
que é homogênea de grau 2. Para resolver, vamos escrever na forma
dydx = -x^2+y^2x^2-x y
e usar a substituição algébrica y = u x, de modo que dy = u,dx + x,du.

Passo 2

Verificamos que numerador e denominador de dydx são polinômios homogêneos de grau 2, logo a equação é homogênea e a substituição y=ux é apropriada.

Passo 3

Aplicando y = u x e dy = u,dx + x,du em
(x^2+y^2),dx + (x^2-x y),dy = 0, obtemos
x^2(1+u^2),dx + x^2(1-u),(u,dx + x,du) = 0
que se simplifica para
x^2(1+u),dx + x^3(1-u),du = 0

Passo 4

Dividindo por x^2 e rearranjando, chega-se a
(1+u),dx + x(1-u),du = 0 ;Longrightarrow; dxx + 1-u1+u,du = 0
Note que
1-u1+u = -1 + 21+u,
então ao integrar
integraldxx + integrall(-1 + 21+ur),du = ln|x| - u + 2ln|1+u| = C

Passo 5

Voltando à variável original u = tfracyx, a solução implícita fica
ln|x| - yx + 2ln!l|1+tfracyxr| = C
Combinando os logaritmos, escrevemos de forma mais compacta:

Resposta

ln(x+y)^2x ;-;yx = C

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