Determine(sem resolver o problema): intervalo no qual a solução do problema de valor inicial dadoe mente existe.
(6) d yd x=-a x-b yb x-c y

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de existência da solução do problema de valor inicial para a EDO
dydx = -a,x - b,yb,x - c,y,
com uma condição inicial (x0,y0). Nosso objetivo é usar o Teorema de Picard– Lindel"of para identificar em que intervalo de x a solução existe sem atravessar pontos em que o campo não está definido.

Passo 2

Definimos a função do lado direito
f(x,y)=-a,x - b,yb,x - c,y
O domínio natural de f é
D = l(x,y)inR^2 mid b,x - c,y neq 0r,
pois em b,x - c,y=0 o denominador zera e f não está definido. Em qualquer subconjunto compacto de D, f é contínua e satisfaz a condição de Lipschitz local em y.

Passo 3

Pelo Teorema de Picard– Lindel"of, se (x0,y0)in D, existe de<a>0 tal que há uma única solução y(x) definida em (x0-de<a,,x0+de<a), desde que para todo x nesse intervalo a solução permaneça em D.

Passo 4

O único obstáculo para a continuidade da solução é o encontro com a reta
b,x - c,y=0 Long<=ftrightarrow y=bc,x
Portanto, o intervalo máximo de existência da solução em x é o maior intervalo aberto que contém x0 e no qual a curva l(x,y(x)r) não atinge essa reta singular.

Passo 5

Como não foram dados valores numéricos para a,b,c nem a condição inicial (x0,y0), não podemos calcular explicitamente de<a nem as extremidades do intervalo em que b,x - c,y(x)neq0. Basta afirmar que a solução existe e é única em qualquer intervalo contíguo a x0 em que a curva solução não cruze a reta y=tfracbcx.

Resposta

A solução existe e é única em todo intervalo (alpha,beta) contendo x0 tal que, para xin(alpha,beta), a condição
b,x - c,y(x)neq 0
permaneça válida. Sem valores de a,b,c e (x0,y0), não é possível especificar numericamente alpha e beta.

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