Determine(sem resolver o problema): intervalo no qual a solução do problema de valor inicial dadoe mente existe.
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Passo 1
O enunciado pede o intervalo de existência da solução do problema de valor inicial para a EDO
com uma condição inicial
. Nosso objetivo é usar o Teorema de Picard– Lindel"of para identificar em que intervalo de
a solução existe sem atravessar pontos em que o campo não está definido.
Passo 2
Definimos a função do lado direito
O domínio natural de
é
pois em
o denominador zera e
não está definido. Em qualquer subconjunto compacto de
,
é contínua e satisfaz a condição de Lipschitz local em
.
Passo 3
Pelo Teorema de Picard– Lindel"of, se
, existe
tal que há uma única solução
definida em
, desde que para todo
nesse intervalo a solução permaneça em
.
Passo 4
O único obstáculo para a continuidade da solução é o encontro com a reta
Portanto, o intervalo máximo de existência da solução em
é o maior intervalo aberto que contém
e no qual a curva
não atinge essa reta singular.
Passo 5
Como não foram dados valores numéricos para
nem a condição inicial
, não podemos calcular explicitamente
nem as extremidades do intervalo em que
. Basta afirmar que a solução existe e é única em qualquer intervalo contíguo a
em que a curva solução não cruze a reta
.
Resposta
A solução existe e é única em todo intervalo
contendo
tal que, para
, a condição
permaneça válida. Sem valores de
e
, não é possível especificar numericamente
e
.