2.2.3 Exercícios
Qual é o trabalho realizado por uma força \mathbf{F}=2 N \hat{x}+3 N \hat{y} que é exercida sobre uma partícula enquanto ela se move de \mathbf{r}_{i}=2 m \hat{x}+3 m \hat{y} para r_{f}=-4 m \hat{x}-3 m \hat{y} ?

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados (peguei estes valores do enunciado): \mathbf{F}=2\\ \mathrm{N}\\ \hat{x}+3\\ \mathrm{N}\\ \hat{y}, \mathbf{r}_{i}=2\\ \mathrm{m}\\ \hat{x}+3\\ \mathrm{m}\\ \hat{y} e \mathbf{r}_{f}=-4\\ \mathrm{m}\\ \hat{x}-3\\ \mathrm{m}\\ \hat{y}. A pergunta é: qual é o trabalho realizado por \mathbf{F} quando a partícula se desloca de \mathbf{r}_{i} para \mathbf{r}_{f}?

Passo 2

Primeiro conceito importante (passo-a-passo bem mastigado): a deslocamento é a variação do vetor posição. Em fórmulas:
\Delta \mathbf{r} = \mathbf{r}_{f} - \mathbf{r}_{i}.
Isso significa que subtraímos componente a componente: a componente x final menos a componente x inicial, e o mesmo para y.
Calculemos explicitamente a deslocamento usando os vetores dados:
\Delta \mathbf{r} = (-4\\ \mathrm{m})\\ \hat{x}+(-3\\ \mathrm{m})\\ \hat{y} \;-\; \big(2\\ \mathrm{m}\\ \hat{x}+3\\ \mathrm{m}\\ \hat{y}\big).
Fazendo as subtrações componente a componente:
\Delta \mathbf{r} = (-4-2)\\ \mathrm{m}\\ \hat{x} + (-3-3)\\ \mathrm{m}\\ \hat{y} = -6\\ \mathrm{m}\\ \hat{x} -6\\ \mathrm{m}\\ \hat{y}.

Passo 3

Agora a definição de trabalho para uma força constante: o trabalho realizado por uma força constante \mathbf{F} ao longo de um deslocamento \Delta \mathbf{r} é o produto escalar (dot product) entre \mathbf{F} e \Delta \mathbf{r}:
W = \mathbf{F}\cdot\Delta \mathbf{r}.
Lembrete do que é produto escalar: se \mathbf{A}=A_x\hat{x}+A_y\hat{y} e \mathbf{B}=B_x\hat{x}+B_y\hat{y}, então
\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=A_x B_x + A_y B_y.
Ou seja, multiplica-se componente x por componente x, componente y por componente y e soma. A unidade resultante é \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}, que chamamos de \mathrm{J} (joule).
Aplique a fórmula ao nosso caso. Temos \mathbf{F}=2\\ \mathrm{N}\\ \hat{x}+3\\ \mathrm{N}\\ \hat{y} e \Delta \mathbf{r}=-6\\ \mathrm{m}\\ \hat{x}-6\\ \mathrm{m}\\ \hat{y}. Então
W = \mathbf{F}\cdot\Delta \mathbf{r} = (2)(-6) + (3)(-6).
Calcule cada termo:
(2)(-6) = -12,\qquad (3)(-6) = -18.
Somando:
W = -12 + (-18) = -30.
E colocando unidade:
W = -30\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Interpretação rápida e motivacional: o resultado negativo significa que, globalmente, a força \mathbf{F} faz trabalho negativo ao longo desse deslocamento — em palavras simples, a força tem componentes no sentido oposto ao deslocamento resultante, então ela retira energia do sistema (ou resiste ao movimento). Dá pra ficar assustado no começo, mas é só seguir essa receita: achar \Delta \mathbf{r} e fazer o produto escalar.

Resposta

-30\\ \mathrm{J}

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