Nos Exercícios 1-6, utilize a integral de superfície no teorema de Stokes para calcular a circulação do campo \mathbf{F} ao redor da curva C na direção indicada.
  1. \mathbf{F}=x^{2} \mathbf{i}+2 x \mathbf{j}+z^{2} \mathbf{k}
    C : A elipse 4 x^{2}+y^{2}=4 no plano x y, no sentido anti-horário quando vista de cima.

Passo 1

O enunciado pede calcular a circulação de \mathbf{F}(x,y,z)=x^{2}\,\mathbf{i}+2x\,\mathbf{j}+z^{2}\,\mathbf{k} ao longo da curva C: a elipse 4x^{2}+y^{2}=4 no plano xy, orientada anti-horário vista de cima. Para isso, vamos aplicar o teorema de Stokes, que relaciona a circulação a uma integral de superfície do rotacional de \mathbf{F}.

Passo 2

Calculamos o rotacional de \mathbf{F} pela definição em determinante:
\nabla\times\mathbf{F} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\ \partial_{x} & \partial_{y} & \partial_{z}\\\ x^{2} & 2x & z^{2} \end{vmatrix} =0\,\mathbf{i}-0\,\mathbf{j}+(2-0)\,\mathbf{k} =2\,\mathbf{k}.

Passo 3

Escolhemos como superfície S o disco elíptico D=\{(x,y,0)\mid4x^{2}+y^{2}\le4\} com normal unitária \mathbf{n}=\mathbf{k} (coerente com o sentido anti-horário visto de cima). Pelo teorema de Stokes:
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS =\iint_{D}2\,dS.

Passo 4

O domínio D é a elipse \frac{x^{2}}{1^{2}}+\frac{y^{2}}{2^{2}}\le1, cuja área é \pi\cdot1\cdot2=2\pi. Portanto,
\iint_{D}2\,dS =2\cdot\mathrm{área}(D) =2\cdot2\pi =4\pi.á

Resposta

4\pi

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