Nos Exercícios 1-6, utilize a integral de superfície no teorema de Stokes para calcular a circulação do campo \mathbf{F} ao redor da curva C na direção indicada.
\mathbf{F}=x^{2} \mathbf{i}+2 x \mathbf{j}+z^{2} \mathbf{k} C : A elipse 4 x^{2}+y^{2}=4 no plano x y, no sentido anti-horário quando vista de cima.
Passo 1
O enunciado pede calcular a circulação de \mathbf{F}(x,y,z)=x^{2}\,\mathbf{i}+2x\,\mathbf{j}+z^{2}\,\mathbf{k} ao longo da curva C: a elipse 4x^{2}+y^{2}=4 no plano xy, orientada anti-horário vista de cima. Para isso, vamos aplicar o teorema de Stokes, que relaciona a circulação a uma integral de superfície do rotacional de \mathbf{F}.
Passo 2
Calculamos o rotacional de \mathbf{F} pela definição em determinante:
Escolhemos como superfície S o disco elíptico D=\{(x,y,0)\mid4x^{2}+y^{2}\le4\} com normal unitária \mathbf{n}=\mathbf{k} (coerente com o sentido anti-horário visto de cima). Pelo teorema de Stokes: