Nos Exercícios 19-28, utilize uma parametrização para encontrar o fluxo
através da superfície na direção determinada.
21. Esfera
através da porção da esfera
no primeiro octante no sentido oposto à origem.
21. Esfera
Passo 1
O enunciado pede o fluxo
da campo
pela parte da esfera
no primeiro octante, com o vetor normal apontando para fora (isto é, oposto à origem). Vamos usar coordenadas esféricas para parametrizar a superfície.
Passo 2
Em coordenadas esféricas usamos os parâmetros
e a parametrização
Para a esfera de raio
, o vetor unitário normal externo é
e o elemento de área é
Passo 3
Na superfície temos
, logo
e a componente de
na direção
é
Portanto
Passo 4
O fluxo fica
Passo 5
Calculemos primeiro
Com
,
, os limites vão de
a
, então
Assim o fluxo é