Nos Exercícios 19-28, utilize uma parametrização para encontrar o fluxo \iint_{S} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} d \sigma através da superfície na direção determinada.
21. Esfera \mathbf{F}=z \mathbf{k} através da porção da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2} no primeiro octante no sentido oposto à origem.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,d\sigma
da campo \mathbf{F}=z\,\mathbf{k} pela parte da esfera x^2+y^2+z^2=a^2 no primeiro octante, com o vetor normal apontando para fora (isto é, oposto à origem). Vamos usar coordenadas esféricas para parametrizar a superfície.

Passo 2

Em coordenadas esféricas usamos os parâmetros
\theta\in[0,\tfrac\pi2],\quad \varphi\in[0,\tfrac\pi2]
e a parametrização
\mathbf{r}(\theta,\varphi) =\bigl(a\sin\varphi\cos\theta,\;a\sin\varphi\sin\theta,\;a\cos\varphi\bigr).
Para a esfera de raio a, o vetor unitário normal externo é
\mathbf{n}=\frac{\mathbf{r}}{a}
e o elemento de área é
d\sigma=a^2\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.

Passo 3

Na superfície temos z=a\cos\varphi, logo
\mathbf{F}=z\,\mathbf{k}=a\cos\varphi\,\mathbf{k},
e a componente de \mathbf{n} na direção k é
n_z=\frac{z}{a}=\cos\varphi.
Portanto
\mathbf{F}\cdot\mathbf{n} =a\cos\varphi\;\times\;\cos\varphi =a\cos^2\varphi.

Passo 4

O fluxo fica
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,d\sigma =\int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{\varphi=0}^{\pi/2} \bigl(a\cos^2\varphi\bigr)\,\bigl(a^2\sin\varphi\bigr)\,d\varphi\,d\theta =a^3\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\pi/2}\cos^2\varphi\,\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.

Passo 5

Calculemos primeiro
\int_{0}^{\pi/2}\cos^2\varphi\,\sin\varphi\,d\varphi.
Com u=\cos\varphi, du=-\sin\varphi\,d\varphi, os limites vão de u(0)=1 a u(\pi/2)=0, então
\int_{0}^{\pi/2}\cos^2\varphi\,\sin\varphi\,d\varphi =-\int_{1}^{0}u^2\,du =\int_{0}^{1}u^2\,du =\frac{1}{3}.
Assim o fluxo é
a^3\;\Bigl(\frac{1}{3}\Bigr)\; \int_{0}^{\pi/2}d\theta =a^3\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{\pi}{2} =\frac{\pi a^3}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi a^3}{6}

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