Nos Exercícios 19-28, utilize uma parametrização para encontrar o fluxo \iint_{S} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} d \sigma através da superfície na direção determinada.
25. Cone \mathbf{F}=x y \mathbf{i}-z \mathbf{k} para fora (normal no sentido oposto ao eixo z ) através do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, 0 \leq z \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \mathbf{F}=x y\,\mathbf{i}-z\,\mathbf{k} pela superfície lateral do cone
z=\sqrt{x^{2}+y^{2}},\quad 0\le z\le1
com a normal apontando no sentido oposto ao eixo z (isto é, com componente n_{z}<0). Para resolver, vamos usar coordenadas cilíndricas e parametrizar o cone.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas tomamos
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=r,
com 0\le r\le1 e 0\le\theta\le2\pi. Definimos a parametrização
\mathbf{r}(r,\theta)=\bigl(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;r\bigr).

Passo 3

Calculamos os vetores tangentes
\mathbf{r}_{r}=(\cos\theta,\;\sin\theta,\;1), \qquad \mathbf{r}_{\theta}=(-r\sin\theta,\;r\cos\theta,\;0),
e o produto vetorial
\mathbf{r}_{r}\times\mathbf{r}_{\theta} =(-r\cos\theta,\;-r\sin\theta,\;r).
Como este vetor tem z>0, invertemos o sentido para obter n_{z}<0:
\mathbf{n}\,d\sigma =-\bigl(\mathbf{r}_{r}\times\mathbf{r}_{\theta}\bigr)\,dr\,d\theta =(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;-r)\,dr\,d\theta.

Passo 4

Na parametrização temos
\mathbf{F}(\mathbf{r}(r,\theta)) =\bigl(r^{2}\cos\theta\sin\theta,\,0,\,-r\bigr).
O produto escalar com \mathbf{n}\,d\sigma é
\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,d\sigma =\bigl(r^{2}\cos\theta\sin\theta\bigr)\,(r\cos\theta) +(-r)\,(-r)\;dr\,d\theta =r^{3}\cos^{2}\theta\sin\theta\,dr\,d\theta +r^{2}\,dr\,d\theta.

Passo 5

O fluxo fica
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,d\sigma =\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{1}\bigl(r^{3}\cos^{2}\theta\sin\theta+r^{2}\bigr)dr\,d\theta.
Separando termos, a parte com \cos^{2}\theta\sin\theta é zero em 0\le\theta\le2\pi, restando
\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1}r^{2}\,dr\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{3}\,d\theta =\frac{2\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{2\pi}{3}

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