Nas partes (a)-(o), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
(a) A matriz não tem diagonal principal.
(b) Uma matriz m times n tem m vetores coluna e n vetores linha.
(c) Se A e B forem matrizes 2 times 2, então A B=B A.
(d) O i-ésimo vetor linha de um produto matricial A B pode ser calculado multiplicando A pelo i-ésimo vetor linha de B.
(e) Dada qualquer matriz A, vale (A^T)^T=A.
(f) Se A e B forem matrizes quadradas de mesma ordem, então tr(A B)=tr(A) tr(B).
(g) Se A e B forem matrizes quadradas de mesma ordem, então (A B)^T=A^T B^T.
(h) Dada qualquer matriz quadrada A, vale tr(A^T)=tr(A).
(i) Se A for uma matriz 6 times 4 e B uma matriz m times n tal que B^T A^T é uma matriz 2 times 6, então m=4 e n=2.
(j) Se A for uma matriz n times n e c um escalar, então tr(c A)=ctr(A).
(k) Se A, B e C forem matrizes de mesmo tamanho tais que A-C=B-C, então A=B.
(l) Se A, B e C forem matrizes quadradas de mesma ordem tais que A C=B C, então A=B.
(m) Se a soma de matrizes A B+B A estiver definida, então A e B devem ser matrizes quadradas de mesmo tamanho.
(n) Se B tiver uma coluna de zeros, então, sempre que o produto estiver definido, A B também tem.
(o) Se B tiver uma coluna de zeros, então, sempre que o produto estiver definido, B A também tem.
Passo 1
O enunciado traz quinze afirmações sobre matrizes, envolvendo definições básicas (dimensões, vetores linha/coluna, diagonal principal), operações (produto, transposta, traço) e propriedades algébricas (comutatividade, cancelamento, colunas nulas). Nosso objetivo é decidir se cada afirmação é verdadeira ou falsa, justificando com conceitos de álgebra linear.
Passo 2
(a) A matriz 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 é de tamanho 2times3. Mesmo não sendo quadrada, existe diagonal principal composta pelos elementos a11 e a22. Logo, é falso que “não tem diagonal principal”.
Passo 3
(b) Uma matriz de tamanho mtimes n tem m linhas e n colunas, isto é, m vetores linha e n vetores coluna. A afirmação troca as quantidades, logo é falsa.
Passo 4
(c) Em geral, para matrizes quadradas A e B não vale AB=BA. A comutatividade só acontece em casos especiais. Portanto, a afirmação é falsa.
Passo 5
(d) A i-ésima linha de AB é obtida multiplicando a i-ésima linha de A por B, não multiplicando A por uma linha de B. Logo, a frase dada está invertida, é falsa.
Passo 6
(e) A transposta satisfaz l(A^Tr)^T=A para qualquer matriz A. A afirmação é verdadeira.
Passo 7
(f) Em geral , mas não vale . A afirmação é falsa.
Passo 8
(g) A regra correta é l(ABr)^T=B^TA^T. Como a ordem foi trocada, a afirmação “(AB)^T=A^TB^T” é falsa.
Passo 9
(h) Como a transposta conserva os elementos da diagonal, tem-se . A afirmação é verdadeira.
Passo 10
(i) Seja A de tamanho 6times4. Então A^T é 4times6. Queremos B^TA^T seja 2times6. Se B é mtimes n então B^T é ntimes m, e para multiplicar por A^T precisamos m=4; o produto terá dimensão ntimes6, e igual a 2times6 dá n=2. Logo m=4 e n=2. A afirmação é verdadeira.
Passo 11
(j) O traço é linear, então para qualquer escalar . A afirmação é verdadeira.
Passo 12
(k) Se A - C = B - C, somando C de ambos os lados obtemos A = B. A afirmação é verdadeira.
Passo 13
(l) De AC=BC não segue A=B a menos que C seja inversível. Em geral matrizes têm divisores de zero. A afirmação é falsa.
Passo 14
(m) Para AB+BA estar definido, ambos AB e BA devem existir e ter a mesma dimensão. Isso força A e B a serem quadradas do mesmo tamanho. A afirmação é verdadeira.
Passo 15
(n) Se B tem uma coluna j inteira zero, então a coluna j de AB é A vezes o vetor zero, resultando em coluna zero. A afirmação é verdadeira.
Passo 16
(o) Coluna zero em B não implica coluna zero em BA, pois a multiplicação é (BA)ik=sumjBijAjk e o j-ésimo índice percorre colunas de B. Não há garantia de zero em nenhuma coluna de BA. A afirmação é falsa.
Resposta
(a) F
(b) F
(c) F
(d) F
(e) V
(f) F
(g) F
(h) V
(i) V
(j) V
(k) V
(l) F
(m) V
(n) V
(o) F