Quantas matrizes de tamanho você consegue encontrar tais que
com quaisquer escolhas de x, y e z ?
Passo 1
O enunciado pede matrizes tais que, para todo vetor , valha
O que isso significa é que a transformação dada por deveria ser linear em , mas o alvo é um produto bilinear de e . Vamos testar se algum linear pode cumprir isso.
Passo 2
Escrevendo , temos
Queremos que isso seja igual a
para todos . Assim, como polinômios em , deve valer
.
.
.
Passo 3
Observe que o lado esquerdo de (1) é linear em x,y,z, enquanto x,y é de grau 2 em x,y. Não há como escolher constantes a11,a12,a13 para que uma combinação linear seja igual ao termo quadrático x,y para todos os x,y. Logo, não existe nenhuma matriz A que satisfaça a condição para todos os vetores (x,y,z).
Resposta
Não existe nenhuma matriz de tamanho que realize
para todos . Portanto, a quantidade de tais matrizes é zero.