Quantas matrizes A de tamanho 3 times 3 você consegue encontrar tais que
A[l x y z ]=[c x y 0 0 ]
com quaisquer escolhas de x, y e z ?

Passo 1

O enunciado pede matrizes tais que, para todo vetor , valha
O que isso significa é que a transformação dada por deveria ser linear em , mas o alvo é um produto bilinear de e . Vamos testar se algum linear pode cumprir isso.

Passo 2

Escrevendo , temos
Queremos que isso seja igual a
para todos . Assim, como polinômios em , deve valer
  1. .
  2. .
  3. .

Passo 3

Observe que o lado esquerdo de (1) é linear em x,y,z, enquanto x,y é de grau 2 em x,y. Não há como escolher constantes a11,a12,a13 para que uma combinação linear seja igual ao termo quadrático x,y para todos os x,y. Logo, não existe nenhuma matriz A que satisfaça a condição para todos os vetores (x,y,z).

Resposta

Não existe nenhuma matriz de tamanho que realize
para todos . Portanto, a quantidade de tais matrizes é zero.

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