Exercícios verdadeiro/falso
Nas partes (a)-(g), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
(a) Se
for uma matriz quadrada e
com algum escalar não nulo
, então x é um autovetor de
.
(b) Se
for um autovalor de uma matriz
, então o sistema linear
só tem a solução trivial.
(c) Se o polinômio característico de uma matriz
for
, então
é invertível.
(d) Se
for um autovalor de uma matriz
, então o autoespaço de
associado a
é o conjunto de autovetores de
associados a
.
(e) Se 0 for um autovalor de uma matriz
, então
é singular.
(f) Os autovalores de uma matriz
são iguais aos autovalores da forma escalonada reduzida por linhas de
.
(g) Se 0 for um autovalor de uma matriz
, então o conjunto de vetores coluna de
é linearmente independente.
(a) Se
(b) Se
(c) Se o polinômio característico de uma matriz
(d) Se
(e) Se 0 for um autovalor de uma matriz
(f) Os autovalores de uma matriz
(g) Se 0 for um autovalor de uma matriz
Passo 1
O enunciado pede que, para cada item (a)–(g), eu diga se a afirmação é verdadeira ou falsa e justifique. Vou listar cada afirmação exatamente como está para não me perder:
(a) Se for uma matriz quadrada e
com algum escalar não nulo
, então
é um autovetor de
.
(b) Se for um autovalor de uma matriz
, então o sistema linear
só tem a solução trivial.
(c) Se o polinômio característico de uma matriz for
, então
é invertível.
(d) Se for um autovalor de uma matriz
, então o autoespaço de
associado a
é o conjunto de autovetores de
associados a
.
(e) Se for um autovalor de uma matriz
, então
é singular.
(f) Os autovalores de uma matriz são iguais aos autovalores da forma escalonada reduzida por linhas de
.
(g) Se for um autovalor de uma matriz
, então o conjunto de colunas de
é linearmente independente.
(a) Se
(b) Se
(c) Se o polinômio característico de uma matriz
(d) Se
(e) Se
(f) Os autovalores de uma matriz
(g) Se
Agora vou resolver item por item, explicando os conceitos necessários e dando exemplos ou contraexemplos quando for o caso.
Passo 2
Conceitos fundamentais que vou usar (explicados com calma):
- Definição de autovalor e autovetor: dizemos que
é autovalor de uma matriz quadrada e é um autovetor associado quando
e além disso exigimos que
(o vetor nulo não conta como autovetor). É importante lembrar essa exigência: autovetor = vetor não-nulo que satisfaz a igualdade.
- Espaço nulo (núcleo) de uma matriz
: é o conjunto . Se esse espaço tem vetores não-nulos dizemos que o núcleo é não trivial. - Polinômio característico:
. As raízes de são exatamente os autovalores de . Para uma matriz , o termo constante de (ou seja ) está relacionado ao determinante de por
- Relação determinante–autovalores: o determinante
é o produto (contando multiplicidades algébricas) dos autovalores de . Em particular, é autovalor é singular. - Operações por linhas (escalonamento) não preservam autovalores em geral; somente transformações por similaridade
preservam autovalores.
Com essas definições na mão já posso atacar cada item.
Passo 3
Item (a). Reescrevendo: se
com
, então
é autovetor.
Aplicando a definição: para que seja autovetor é necessário que
e que satisfaça
. A hipótese do item afirma somente que existe um escalar não nulo
tal que
, mas não afirma que
. O vetor nulo satisfaz
para qualquer
, então a igualdade pode ser verdadeira mesmo quando
, e o vetor nulo não é um autovetor por definição. Portanto a afirmação é falsa. Um contraexemplo simples: tome qualquer matriz
e escolha
e
; a igualdade vale, mas
não é autovetor.
Aplicando a definição: para que
Passo 4
Item (b). Reescrevendo: se
é autovalor de
, então o sistema
só tem a solução trivial.
Pelo que vimos, ser autovalor significa que existe
com
. Reescrevendo,
com
. Isso mostra que o sistema tem uma solução não-trivial. Logo a afirmação “só tem a solução trivial” é falsa. Em palavras: ser autovalor significa precisamente que o núcleo de
é não trivial.
Pelo que vimos,
Passo 5
Item (c). Reescrevendo: se
é o polinômio característico de
, então
é invertível.
Observações e explicações: o polinômio característico tem grau , logo
é uma matriz
. Para qualquer
,
Observações e explicações: o polinômio característico tem grau
Aqui
, então
e portanto
. Avaliando
em
obtemos
. Logo
. Se o determinante é não nulo,
é invertível. Conclusão: a afirmação é verdadeira. (Também podemos notar que as raízes de
são
, não zero, então nenhum autovalor é zero e isso também implica invertibilidade.)
Passo 6
Item (d). Reescrevendo: se
é autovalor, então o autoespaço associado a
é o conjunto de autovetores associados a
.
Explicação cuidadosa: o autoespaço associado a é definido como o núcleo de
:
Explicação cuidadosa: o autoespaço associado a
Esse conjunto é um subespaço vetorial e inclui o vetor nulo. Já o conjunto de autovetores é geralmente entendido como os vetores não-nulos desse núcleo. Portanto o autoespaço é igual ao conjunto de autovetores mais o vetor nulo. A afirmação que os identifica exatamente (sem mencionar o vetor nulo) está imprecisa: o autoespaço contém o vetor nulo, enquanto o conjunto de autovetores normalmente exclui o
. Por isso, tal como enunciada, a afirmação é falsa. Exemplo ilustrativo: se
for autovalor então
, mas
não é considerado autovetor.
Passo 7
Item (e). Reescrevendo: se
é autovalor de
, então
é singular.
Duas maneiras de ver isso (ambas simples):
Duas maneiras de ver isso (ambas simples):
- Se
é autovalor então existe tal que . Aplicando de novo, . Assim pertence ao núcleo de , logo tem núcleo não trivial e é singular. - Usando determinantes: se
é raiz do polinômio característico então ; logo , o que mostra que é singular.
Portanto a afirmação é verdadeira.
Passo 8
Item (f). Reescrevendo: os autovalores de
são iguais aos autovalores da forma escalonada reduzida por linhas (RREF) de
.
Explicação e contraexemplo: operações elementares por linhas (trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não-zero, somar múltiplo de uma linha em outra) não correspondem a transformações por similaridade . Autovalores são invariantes por similaridade, mas não por operações arbitrárias por linhas. Portanto, em geral, o RREF de
pode ter autovalores totalmente diferentes. Contraexemplo simples e direto: tome
Explicação e contraexemplo: operações elementares por linhas (trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não-zero, somar múltiplo de uma linha em outra) não correspondem a transformações por similaridade
Os autovalores de
são
e
. Fazendo operações por linhas (por exemplo dividir a primeira linha por
e a segunda por
) obtemos a forma escalonada reduzida
cujo autovalores são
e
. Claramente
. Logo a afirmação é falsa.]
Passo 9
Item (g). Reescrevendo: se
é autovalor de
, então o conjunto de vetores coluna de
é linearmente independente.
Relação entre autovalor zero e independência das colunas: ser autovalor
é singular
as colunas de
são linearmente dependentes. Portanto a afirmação que as colunas são linearmente independentes é contrária à implicação correta; ela é falsa. Um exemplo: se existe
com
então as colunas de
satisfazem uma combinação linear não-trivial que dá o vetor zero (as componentes de
são os coeficientes dessa combinação), mostrando dependência linear.
Relação entre autovalor zero e independência das colunas:
Resposta
(a) Falso
(b) Falso
(c) Verdadeiro
(d) Falso
(e) Verdadeiro
(f) Falso
(g) Falso
(b) Falso
(c) Verdadeiro
(d) Falso
(e) Verdadeiro
(f) Falso
(g) Falso