Se \vec{u}=(-1,1,1) e \vec{v}=(2,1,-1) são vetores diretores de um plano \pi e P=(1,-1,-2) \in \pi, então a equação geral de \pi é:
Escolha uma opção:
◯ a. -2 x+y-3 z-3=0
◯ b. 2 x+3 y+z+3=0
◯ c. -2 x-3 y+z+1=0
◯ d. 2 x+y+3 z+5=0
◯ e. -2 x+3 y-z+3=0

Passo 1

O enunciado dá os vetores diretores do plano \pi e um ponto do plano. Especificamente:
\vec{u}=(-1,1,1), \vec{v}=(2,1,-1) e P=(1,-1,-2) com P\in\pi.
A pergunta é: determinar a equação geral do plano \pi (ou seja, encontrar uma equação da forma ax+by+cz+d=0 que descreva \pi).

Passo 2

Ideia principal (explicando a teoria necessária, de forma bem prática): um plano pode ser dado por um vetor normal \vec{n}=(a,b,c) e um ponto P=(x_0,y_0,z_0) nele, pela equação
\vec{n}\cdot (x-x_0,y-y_0,z-z_0)=0,
onde \vec{n}\cdot\vec{w} é o produto escalar (dot product) entre dois vetores. O produto escalar de \vec{n}=(a,b,c) por (x-x_0,y-y_0,z-z_0) é
a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0).
Como temos dois vetores diretores \vec{u} e \vec{v} do plano, um vetor normal \vec{n} pode ser obtido pelo produto vetorial (cross product) \vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}. Vou calcular \vec{u}\times\vec{v} passo a passo.

Passo 3

Fórmula do produto vetorial para \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3) é
\vec{u}\times\vec{v}=\bigl(u_2v_3-u_3v_2,\; u_3v_1-u_1v_3,\; u_1v_2-u_2v_1\bigr).
Aqui u_1=-1, u_2=1, u_3=1; v_1=2, v_2=1, v_3=-1. Vou calcular cada componente.

Passo 4

Calculemos as componentes:
Primeira componente:
u_2v_3-u_3v_2 = 1\cdot(-1)-1\cdot1 = -1-1 = -2.
Segunda componente:
u_3v_1-u_1v_3 = 1\cdot2-(-1)\cdot(-1) = 2-1 = 1.
Terceira componente:
u_1v_2-u_2v_1 = (-1)\cdot1-1\cdot2 = -1-2 = -3.
Portanto o vetor normal é
\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}=(-2,1,-3).

Passo 5

Agora usamos a equação do plano com \vec{n}=(a,b,c)=(-2,1,-3) e o ponto P=(x_0,y_0,z_0)=(1,-1,-2):
-2(x-1)+1\,(y-(-1)) -3(z-(-2))=0.
Vou simplificar termo a termo.

Passo 6

Expandindo:
-2(x-1)+ (y+1) -3(z+2)=0.
Distribuindo:
-2x +2 + y +1 -3z -6 =0.
Somando as constantes 2+1-6=-3, obtemos:
-2x + y -3z -3 = 0.
Essa é a equação geral do plano. Comparando com as alternativas fornecidas, corresponde à alternativa (a).

Resposta

-2 x+y-3 z-3=0

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