Nos Exercícios 1-2, confirme por multiplicação que x é um autovetor de A e encontre o autovalor correspondente.
A=\left[\begin{array}{rrr}2 & -1 & -1 \\\\ -1 & 2 & -1 \\\\ -1 & -1 & 2\end{array}\right] ; \mathbf{x}=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: confirmar por multiplicação que \mathbf{x} é um autovetor da matriz A e encontrar o autovalor correspondente.
As informações dadas são:
A=\begin{pmatrix}2 & -1 & -1 \\[4pt] -1 & 2 & -1 \\[4pt] -1 & -1 & 2\end{pmatrix}, \qquad \mathbf{x}=\begin{pmatrix}1 \\[4pt] 1 \\[4pt] 1\end{pmatrix}.]

Passo 2

Primeiro vamos lembrar o que significa multiplicar uma matriz por um vetor: o produto A\mathbf{x} é um vetor cujas componentes são os produtos das linhas de A pelo vetor \mathbf{x}. Ou seja, a primeira componente de A\mathbf{x} é a soma dos produtos dos elementos da primeira linha de A pelos elementos de \mathbf{x}, e assim por diante.

Passo 3

Vamos calcular cada componente de A\mathbf{x} passo a passo.
A primeira componente:
(A\mathbf{x})_1 = 2\cdot 1 + (-1)\cdot 1 + (-1)\cdot 1 = 2 - 1 - 1 = 0.
A segunda componente:
(A\mathbf{x})_2 = (-1)\cdot 1 + 2\cdot 1 + (-1)\cdot 1 = -1 + 2 - 1 = 0.
A terceira componente:
(A\mathbf{x})_3 = (-1)\cdot 1 + (-1)\cdot 1 + 2\cdot 1 = -1 -1 + 2 = 0.
Reunindo as componentes, obtemos
A\mathbf{x}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}=\mathbf{0}.]

Passo 4

A definição de autovetor/autovalor é: \mathbf{x} é autovetor de A se existe \lambda tal que
A\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}.
Comparando A\mathbf{x}=\mathbf{0} com \lambda\mathbf{x} e lembrando que \mathbf{x}\neq\mathbf{0}, concluímos que \lambda deve ser 0. Ou seja,
A\mathbf{x}=0\cdot\mathbf{x}.
Pequena observação didática e de incentivo: um autovalor pode ser zero — isso significa que a transformação linear representada por A envia aquele autovetor para o vetor nulo. É perfeitamente válido e é um caso importante em muitas aplicações. Você fez direitinho chegando até aqui — tá indo bem!

Resposta

Sim: A\mathbf{x}=\mathbf{0}, portanto \mathbf{x} é autovetor de A.
Autovalor correspondente: \lambda=0.

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