Nos Exercícios 1-2, confirme por multiplicação que x é um autovetor de A e encontre o autovalor correspondente. A=\left[\begin{array}{rrr}2 & -1 & -1 \\\\ -1 & 2 & -1 \\\\ -1 & -1 & 2\end{array}\right] ; \mathbf{x}=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: confirmar por multiplicação que \mathbf{x} é um autovetor da matriz A e encontrar o autovalor correspondente.
As informações dadas são:
Primeiro vamos lembrar o que significa multiplicar uma matriz por um vetor: o produto A\mathbf{x} é um vetor cujas componentes são os produtos das linhas de A pelo vetor \mathbf{x}. Ou seja, a primeira componente de A\mathbf{x} é a soma dos produtos dos elementos da primeira linha de A pelos elementos de \mathbf{x}, e assim por diante.
Passo 3
Vamos calcular cada componente de A\mathbf{x} passo a passo.
A definição de autovetor/autovalor é: \mathbf{x} é autovetor de A se existe \lambda tal que
A\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}.
Comparando A\mathbf{x}=\mathbf{0} com \lambda\mathbf{x} e lembrando que \mathbf{x}\neq\mathbf{0}, concluímos que \lambda deve ser 0. Ou seja,
A\mathbf{x}=0\cdot\mathbf{x}.
Pequena observação didática e de incentivo: um autovalor pode ser zero — isso significa que a transformação linear representada por A envia aquele autovetor para o vetor nulo. É perfeitamente válido e é um caso importante em muitas aplicações. Você fez direitinho chegando até aqui — tá indo bem!
Resposta
Sim: A\mathbf{x}=\mathbf{0}, portanto \mathbf{x} é autovetor de A.
Autovalor correspondente: \lambda=0.