Exercícios verdadeiro/falso

Nas partes (a)-(i), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
(a) Se uma matriz estiver em forma escalonada reduzida por linhas, então também estará em forma escalonada por linhas.
(b) Se efetuarmos uma operação elementar com as linhas de uma matriz em forma escalonada, a matriz resultante ainda estará em forma escalonada.
(c) Cada matriz tem uma única forma escalonada por linhas.
(d) Um sistema linear homogêneo em n incógnitas cuja matriz aumentada correspondente tem uma forma escalonada reduzida com r pivôs tem n-r variáveis livres.
(e) Todos os pivôs de uma matriz em forma escalonada por linhas devem ocorrer em colunas distintas.
(f) Se cada coluna de uma matriz em forma escalonada por linhas tiver um pivô, então cada entrada que não for um pivô será nula.
(g) Se um sistema linear homogêneo de n equações em n incógnitas tiver uma matriz aumentada correspondente com uma forma escalonada reduzida com n pivôs, então o sistema linear só tem a solução trivial.
(h) Se a forma escalonada reduzida de uma matriz aumentada de um sistema linear tiver uma linha de zeros, então o sistema deve ter uma infinidade de soluções.
(i) Se um sistema linear tem mais incógnitas do que equações, então o sistema deve ter uma infinidade de soluções.

Passo 1

O enunciado apresenta várias afirmativas sobre formas escalonada e escalonada reduzida de matrizes, pivôs e variáveis livres, além de implicações para a solução de sistemas lineares homogêneos. O conteúdo envolve entender as definições de forma escalonada por linhas, forma escalonada reduzida por linhas, pivô, variável livre e como essas ideias determinam o número de soluções de um sistema.

Passo 2

(a) Toda matriz em forma escalonada reduzida por linhas satisfaz as condições de forma escalonada por linhas (linhas nulas embaixo, cada pivô mais à direita que o pivô da linha acima, etc.). Logo, se ela está em forma escalonada reduzida, ela já satisfaz a forma escalonada comum. Portanto a afirmação é verdadeira.

Passo 3

(b) Se aplicarmos uma operação elementar (por exemplo, trocar duas linhas) a uma matriz que está em forma escalonada, podemos violar a condição de que os pivôs formam uma “escada” subindo da esquerda para a direita. Assim, nem toda operação elementar mantém a forma escalonada. Portanto a afirmação é falsa.

Passo 4

(c) A forma escalonada por linhas não é única: depende da sequência de operações que usamos. O que é único é a forma escalonada reduzida por linhas. Logo, afirmar que cada matriz tem uma única forma escalonada por linhas é falso.

Passo 5

(d) Num sistema homogêneo com n incógnitas cuja matriz aumentada está em forma escalonada reduzida e exibe r pivôs, cada pivô resolve uma incógnita como básica, restando n-r incógnitas sem pivô, que são as variáveis livres. Portanto a afirmação é verdadeira.

Passo 6

(e) Na definição de forma escalonada por linhas, cada linha não nula tem seu pivô mais à direita que o pivô da linha acima, de modo que não podem ocorrer dois pivôs na mesma coluna. Logo, pivôs devem estar em colunas distintas, e a afirmação é verdadeira.

Passo 7

(f) Mesmo que cada coluna tenha um pivô, na forma escalonada (não reduzida) ainda podem existir entradas não nulas abaixo de um pivô ou à esquerda, pois não exigimos zeros acima do pivô nem apenas 1 como valor do pivô. Assim, nem toda entrada não pivô é zero. A afirmação é falsa.

Passo 8

(g) Num sistema homogêneo com n equações e n incógnitas, se a forma escalonada reduzida da matriz aumentada exibe n pivôs, não há variáveis livres e a única solução é a trivial. Logo, a afirmação é verdadeira.

Passo 9

(h) Se a forma escalonada reduzida da matriz aumentada tiver uma linha inteira de zeros [0\;\dots\;0\mid 0], isso significa que há menos pivôs do que incógnitas e pelo menos uma variável livre, resultando em infinitas soluções (assumindo consistência). Portanto, a afirmação é verdadeira.

Passo 10

(i) Um sistema com mais incógnitas que equações tende a ter variáveis livres, mas pode muito bem ser inconsistente (por exemplo, duas equações contraditórias em três incógnitas), resultando em nenhuma solução. Logo, não é garantido ter infinitas soluções e a afirmação é falsa.

Resposta

(a) Verdadeira.
(b) Falsa.
(c) Falsa.
(d) Verdadeira.
(e) Verdadeira.
(f) Falsa.
(g) Verdadeira.
(h) Verdadeira.
(i) Falsa.

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