Descreva todas as formas escalonadas reduzidas possíveis de \left[\begin{array}{lll}a & b & c \\\ d & e & f \\\ g & h & i\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede para descrever todas as possíveis formas escalonadas reduzidas (RREF) de uma matriz genérica
\begin{pmatrix} a & b & c\\\ d & e & f\\\ g & h & i \end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é a definição de forma escalonada reduzida (RREF) e a contagem de pivôs, que equivale ao posto (rank) da matriz. Para cada valor possível de posto r\in\{0,1,2,3\}, há \binom{3}{r} maneiras de escolher as colunas-pivô. Em cada RREF os pivôs são 1, cada coluna-pivô tem zeros fora do pivô, cada linha de pivô tem exclusivamente seu 1 como único elemento não nulo naquela coluna, e linhas nulas ficam abaixo de todas as linhas não nulas.
Passo 2
Listamos os casos segundo o posto r:
Caso r=0. Não há pivô. Toda a matriz é nula.
Passo 3
Caso r=1. Escolhemos 1 coluna-pivô entre \{1,2,3\}. A primeira linha terá o pivô 1 nessa coluna, e as outras duas linhas serão nulas. Nas colunas livres (não-pivô) aparecem coeficientes arbitrários na linha de pivô. As três formas são:
Caso r=2. Escolhemos 2 colunas-pivô j_1<j_2. As duas primeiras linhas têm pivôs 1 nessas colunas e zeros em todas as outras posições da coluna-pivô; a terceira linha é nula. Na única coluna livre sobram dois coeficientes livres nas duas linhas de pivô. As três possíveis RREF são: