\left\{\begin{array}{l} a x+y+z=1 \\\ x+a y+z=1 \\\ x+y+a z=1 \end{array}\right.
Determine, em função do parâmetro a, quando o sistema:
a) possui solução única;
b) possui infinitas soluções;

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear com parâmetro a:
\left\{\begin{array}{l} a x+y+z=1,\\[4pt] x+a y+z=1,\\[4pt] x+y+a z=1, \end{array}\right.
As perguntas são:
a) Para quais valores de a o sistema possui solução única?
b) Para quais valores de a o sistema possui infinitas soluções?
Informações relevantes: é um sistema de 3 equações e 3 incógnitas ( x,y,z), com matriz de coeficientes que depende de a e vetor de termos constantes igual a (1,1,1)^{T}.]

Passo 2

Estratégia geral (quem já viu isso em prova adora): escrever a matriz de coeficientes A e usar o determinante para decidir quando a matriz é invertível. Regras importantes:
  • Se \det(A)\neq0, a matriz é invertível e o sistema tem solução única (porque A tem inversa).
  • Se \det(A)=0, a matriz não é invertível; então pode ocorrer ou (i) o sistema ser inconsistente (sem solução) ou (ii) o sistema ser compatível indeterminado (infinitas soluções). Nesse caso é preciso comparar o posto (rank) da matriz dos coeficientes com o posto da matriz aumentada para decidir entre inconsistente e infinitas soluções.
Vou aplicar exatamente isso ao nosso caso.

Passo 3

A matriz dos coeficientes é
A=\begin{pmatrix} a & 1 & 1\\[4pt] 1 & a & 1\\[4pt] 1 & 1 & a \end{pmatrix},
e a matriz aumentada é
\left(\begin{array}{ccc|c} a & 1 & 1 & 1\\[4pt] 1 & a & 1 & 1\\[4pt] 1 & 1 & a & 1 \end{array}\right).]

Passo 4

Calcular \det(A). Uma maneira elegante: escrever A=(a-1)I + J, onde I é a identidade 3\times3 e J é a matriz de todos os uns. Sabendo que J tem autovalores 3 (multiplicidade 1, vetor próprio (1,1,1)^T) e 0 (multiplicidade 2), os autovalores de A são (a-1)+3=a+2 (uma vez) e (a-1)+0=a-1 (duas vezes). O determinante é o produto dos autovalores:
\det(A)=(a+2)(a-1)^2.
(Para quem prefere cálculo direto: expandindo o determinante obtém-se o polinômio a^3-3a+2 que fatoriza como (a+2)(a-1)^2.)

Passo 5

Interpretando \det(A):
  • Se (a+2)(a-1)^2\neq0 então \det(A)\neq0 e portanto o sistema tem solução única.
  • Os valores que anulam o determinante são a=1 e a=-2. Esses são os casos especiais que precisam de investigação mais cuidadosa (posto e compatibilidade).

Passo 6

Analisar o caso a=1.
Se a=1, a matriz dos coeficientes fica
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 1 \end{pmatrix},
ou seja, todas as três equações são idênticas: x+y+z=1. Então o posto de A é 1 (há apenas uma equação linear independente) e a matriz aumentada também tem posto 1 (o vetor de termos é consistente com essa equação). Portanto o sistema é compatível indeterminado: tem infinitas soluções. Uma descrição paramétrica simples é escolher dois parâmetros s,t\in\mathbb{R} e escrever
\left\{\begin{array}{l} y=s,\\[4pt] z=t,\\[4pt] x=1-s-t, \end{array}\right.
que mostra claramente infinitas soluções (dois graus de liberdade).]

Passo 7

Analisar o caso a=-2.
Se a=-2, as equações são
\left\{\begin{array}{l} -2x+y+z=1,\\[4pt] x-2y+z=1,\\[4pt] x+y-2z=1. \end{array}\right.
Somando as três equações do lado esquerdo obtemos
(-2x+x+x) + (y-2y+y) + (z+z-2z) = 0,
enquanto somando os termos do lado direito obtemos 1+1+1=3. Logo chegamos a 0=3, contradição. Isso significa que o sistema é inconsistente para a=-2: não há solução. Em particular, não há infinitas soluções nesse caso.]

Passo 8

Resumo da análise lógica (sem repetir a resposta final aqui): para \det(A)\neq0 (ou seja, a\neq1 e a\neq-2) o sistema tem solução única; para a=1 o sistema é compatível indeterminado (infinitas soluções); para a=-2 o sistema é incompatível (nenhuma solução).

Resposta

a) a\neq1 e a\neq-2
b) a=1

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