Nos Exercícios 1-8, verifique que a afirmação está correta mostrando que a derivada do lado direito é igual ao integrando do lado esquerdo.
\int\left(-\frac{9}{x^{4}}\right) d x=\frac{3}{x^{3}}+C

Passo 1

O enunciado afirma que
\int\left(-\frac{9}{x^{4}}\right)dx = \frac{3}{x^{3}} + C.
Para verificar, vamos usar o conteúdo de derivação de potências: se f(x)=x^n então f'(x)=n\,x^{n-1}. Nosso objetivo é mostrar que a derivada do lado direito coincide com o integrando do lado esquerdo.

Passo 2

Reescrevemos a função proposta como potência de x:
-\frac{9}{x^{4}} = -9\,x^{-4},
\frac{3}{x^{3}} = 3\,x^{-3}.
Definimos
f(x) = 3\,x^{-3} + C.

Passo 3

Aplicamos a regra da derivada de potência a f(x):
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(3\,x^{-3} + C\bigr) = 3\cdot(-3)\,x^{-4} + 0 = -9\,x^{-4}.

Passo 4

Observamos que
f'(x) = -9\,x^{-4} = -\frac{9}{x^4},
que é exatamente o integrando. Assim, a igualdade original está comprovada.

Resposta

A derivada de \frac{3}{x^{3}}+C é -9/x^{4}, logo a afirmação está correta.

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