Nos Exercícios 1-8, verifique que a afirmação está correta mostrando que a derivada do lado direito é igual ao integrando do lado esquerdo.
\int \frac{4}{\sqrt{x}} d x=8 \sqrt{x}+C

Passo 1

O enunciado pede para verificar que
\int \frac{4}{\sqrt{x}}\,dx = 8\sqrt{x}+C
é correto, mostrando que a derivada de 8\sqrt{x}+C coincide com o integrando \tfrac{4}{\sqrt{x}}. O conteúdo usado aqui é a regra da potência para derivadas.

Passo 2

Escrevemos
F(x) = 8\sqrt{x} + C = 8x^{1/2} + C
e lembramos que, pela regra da potência,
\frac{d}{dx}x^n = n\,x^{n-1},
além de \frac{d}{dx}C = 0.

Passo 3

Aplicando a derivada em F(x), temos
F'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(8x^{1/2}\bigr) + \frac{d}{dx}C =8 \cdot \frac12\,x^{-1/2} + 0 =4x^{-1/2} =\frac{4}{\sqrt{x}}.

Resposta

A derivada de 8\sqrt{x}+C é \tfrac{4}{\sqrt{x}}, o que confirma que
\int \frac{4}{\sqrt{x}}\,dx = 8\sqrt{x}+C.

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