Nos Exercícios 1-8, verifique que a afirmação está correta mostrando que a derivada do lado direito é igual ao integrando do lado esquerdo.
\int\left(4 x^{3}-\frac{1}{x^{2}}\right) d x=x^{4}+\frac{1}{x}+C

Passo 1

O enunciado pede para verificar que
\int\bigl(4x^{3}-\tfrac{1}{x^{2}}\bigr)\,dx = x^{4} + \tfrac{1}{x} + C
isto é, mostrar que a derivada de x^{4} + \tfrac{1}{x} + C é exatamente 4x^{3} - \tfrac{1}{x^{2}}. Vamos usar as regras básicas de derivação (derivada da soma, da potência e de constante).

Passo 2

Calcular \displaystyle \frac{d}{dx}\bigl(x^{4}\bigr) aplicando a regra da potência \frac{d}{dx}(x^{n}) = nx^{n-1}:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}\bigr) = 4x^{3}.

Passo 3

Calcular \displaystyle \frac{d}{dx}\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr). Escrevendo \tfrac{1}{x} = x^{-1} e usando a regra da potência:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{-1}\bigr) = -1\cdot x^{-2} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^{2}}.
E a derivada da constante C é zero:
\frac{d}{dx}\text{(C)} = 0.

Passo 4

Somando os resultados pelo princípio da derivada da soma, obtemos
\frac{d}{dx}\Bigl(x^{4} + \tfrac{1}{x} + C\Bigr) = 4x^{3} + \Bigl(-\tfrac{1}{x^{2}}\Bigr) + 0 = 4x^{3} - \tfrac{1}{x^{2}},
que coincide exatamente com o integrando.

Resposta

A afirmação está correta, pois a derivada de x^{4} + \tfrac{1}{x} + C é 4x^{3} - \tfrac{1}{x^{2}}.

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