Nos Exercícios 1-8, verifique que a afirmação está correta mostrando que a derivada do lado direito é igual ao integrando do lado esquerdo.
4. \int\left(1-\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}\right) d x=x-3 \sqrt[3]{x}+C

Passo 1

O enunciado pede para verificar que
\int\!\Bigl(1 - \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}\Bigr)\,dx = x - 3\sqrt[3]{x} + C
é verdadeira mostrando que a derivada de x - 3\sqrt[3]{x} + C é igual ao integrando 1 - \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}. Vamos usar a regra do poder e a linearidade da derivada.

Passo 2

Calculemos
\frac{d}{dx}\bigl(x - 3\sqrt[3]{x} + C\bigr).
Escrevendo \sqrt[3]{x}=x^{1/3} e aplicando a derivada termo a termo:
\frac{d}{dx}(x)=1, \qquad \frac{d}{dx}\bigl(-3x^{1/3}\bigr)=-3\cdot\frac{1}{3}x^{1/3-1}=-x^{-2/3}.
Logo,
\frac{d}{dx}\bigl(x - 3\sqrt[3]{x} + C\bigr) =1 - x^{-2/3} =1 - \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}.

Resposta

A derivada de x - 3\sqrt[3]{x} + C é exatamente 1 - \tfrac{1}{\sqrt[3]{x^2}}, que coincide com o integrando. Portanto, a afirmação está correta.

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