Exercise 15.6.1
Consider the same region R as in the previous example, and use the density function \rho(x, y)=\sqrt{x y}. Find the total mass.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a massa total da região R usando a densidade \rho(x,y)=\sqrt{x y}.\n
Informações fornecidas no enunciado: \rho(x,y)=\sqrt{x y}.\n
Informação faltante e crucial: o enunciado refere-se a “a mesma região R do exemplo anterior”, mas essa região R não foi enviada aqui. Sem a descrição de R (ou seja, sem as curvas/retas que limitam R e os limites numéricos), não é possível escrever os limites da integral dupla que calcula a massa. Portanto, com os dados que tenho, não dá para obter um valor numérico final para a massa.

Passo 2

O que se precisa saber para calcular massa: a massa total M de uma lamina com densidade superficial \rho(x,y) sobre uma região R do plano é dada por
M=\iint_{R}\rho(x,y)\,dA.
Aqui \,dA representa um elemento de área (por exemplo \,dA=dy\,dx ou \,dA=dx\,dy quando usamos integrais iteradas). Para aplicar essa fórmula precisamos conhecer a forma de R para escolher os limites de integração.

Passo 3

Como escolher a forma iterada da integral (explicação didática):\n
  • Se R é um tipo I (fatias verticais): existem a e b tais que a\le x\le b e funções g_1(x)\le y\le g_2(x). Então
\iint_{R}\rho(x,y)\,dA=\int_{x=a}^{x=b}\left(\int_{y=g_1(x)}^{y=g_2(x)}\rho(x,y)\,dy\right)dx.
  • Se R é um tipo II (fatias horizontais): existem c e d tais que c\le y\le d e funções h_1(y)\le x\le h_2(y). Então
\iint_{R}\rho(x,y)\,dA=\int_{y=c}^{y=d}\left(\int_{x=h_1(y)}^{x=h_2(y)}\rho(x,y)\,dx\right)dy.
Explicação do porquê: escolhemos fatias que tornam os limites simples (constantes ou funções únicas) para poder avaliar a integral iterada.

Passo 4

Aplicando isso ao caso \rho(x,y)=\sqrt{x y} (aulas práticas sobre como integrar):\n
Observe que \sqrt{x y}=\sqrt{x}\,\sqrt{y}. Isso é útil porque a função separa como produto de uma função só de x por uma função só de y.\n
Integração interna quando integramos em y (tratando x como constante):
\int \sqrt{x y}\,dy=\sqrt{x}\int y^{1/2}\,dy=\sqrt{x}\cdot\frac{2}{3}y^{3/2}+C.
Integração interna quando integramos em x (tratando y como constante):
\int \sqrt{x y}\,dx=\sqrt{y}\int x^{1/2}\,dx=\sqrt{y}\cdot\frac{2}{3}x^{3/2}+C.
Essas primitivas são fáceis de aplicar uma vez que conheçamos os limites.

Passo 5

Dois exemplos para fixar o procedimento (modelos que você pode usar na prova, dependendo de R):
Exemplo A — R é o retângulo \{(x,y)\mid 0\le x\le a,\;0\le y\le b\} (aqui estou a mostrar um caso concreto só para ensinar):
M=\int_{0}^{a}\int_{0}^{b}\sqrt{x y}\,dy\,dx.
Usando separabilidade:
M=\left(\int_{0}^{a}\sqrt{x}\,dx\right)\left(\int_{0}^{b}\sqrt{y}\,dy\right).
Calcule cada integral:
\int_{0}^{a}\sqrt{x}\,dx=\frac{2}{3}a^{3/2},\qquad \int_{0}^{b}\sqrt{y}\,dy=\frac{2}{3}b^{3/2}.
Logo
M=\frac{4}{9}\,a^{3/2}b^{3/2}.
Exemplo B — R é o triângulo \{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\;0\le y\le x\} (outro caso típico):
M=\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}\sqrt{x y}\,dy\,dx.
Integre em y primeiro:
\int_{0}^{x}\sqrt{x y}\,dy=\sqrt{x}\cdot\frac{2}{3}y^{3/2}\Big|_{0}^{x}=\sqrt{x}\cdot\frac{2}{3}x^{3/2}=\frac{2}{3}x^{2}.
Agora integre em x:
M=\int_{0}^{1}\frac{2}{3}x^{2}\,dx=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}=\frac{2}{9}.
Esses exemplos mostram o fluxo de trabalho: (i) descrever R, (ii) escolher ordem de integração, (iii) usar primitivas dadas no Passo 4, (iv) calcular.

Passo 6

Conclusão aplicada ao seu enunciado real: como a descrição da região R não foi incluída na pergunta que você me enviou (é referida apenas como “a mesma região R do exemplo anterior”), eu não posso escrever os limites nem avaliar a integral para dar um número final. Se você me enviar a descrição explícita de R (por exemplo: retângulo com tais limites, triângulo com tais vértices, ou R=\{(x,y)\mid a\le x\le b,\;g_1(x)\le y\le g_2(x)\}, etc.), eu monto a integral passo a passo e calculo a massa detalhadamente como nos exemplos acima. Força — você já tem o método pronto, falta só a descrição de R!

Resposta

Não é possível calcular a massa porque a descrição da região R (os limites da região) não foi fornecida; é necessária a definição de R para estabelecer e avaliar a integral \iint_{R}\sqrt{x y}\,dA.

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