Consider the same region R as in the previous example, and use the density function \rho(x, y)=\sqrt{x y}. Find the total mass.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a massa total da região R usando a densidade \rho(x,y)=\sqrt{x y}.\n
Informações fornecidas no enunciado: \rho(x,y)=\sqrt{x y}.\n
Informação faltante e crucial: o enunciado refere-se a “a mesma região R do exemplo anterior”, mas essa região R não foi enviada aqui. Sem a descrição de R (ou seja, sem as curvas/retas que limitam R e os limites numéricos), não é possível escrever os limites da integral dupla que calcula a massa. Portanto, com os dados que tenho, não dá para obter um valor numérico final para a massa.
Passo 2
O que se precisa saber para calcular massa: a massa total M de uma lamina com densidade superficial \rho(x,y) sobre uma região R do plano é dada por
M=\iint_{R}\rho(x,y)\,dA.
Aqui \,dA representa um elemento de área (por exemplo \,dA=dy\,dx ou \,dA=dx\,dy quando usamos integrais iteradas). Para aplicar essa fórmula precisamos conhecer a forma de R para escolher os limites de integração.
Passo 3
Como escolher a forma iterada da integral (explicação didática):\n
Se R é um tipo I (fatias verticais): existem a e b tais que a\le x\le b e funções g_1(x)\le y\le g_2(x). Então
Explicação do porquê: escolhemos fatias que tornam os limites simples (constantes ou funções únicas) para poder avaliar a integral iterada.
Passo 4
Aplicando isso ao caso \rho(x,y)=\sqrt{x y} (aulas práticas sobre como integrar):\n
Observe que \sqrt{x y}=\sqrt{x}\,\sqrt{y}. Isso é útil porque a função separa como produto de uma função só de x por uma função só de y.\n
Integração interna quando integramos em y (tratando x como constante):
Esses exemplos mostram o fluxo de trabalho: (i) descrever R, (ii) escolher ordem de integração, (iii) usar primitivas dadas no Passo 4, (iv) calcular.
Passo 6
Conclusão aplicada ao seu enunciado real: como a descrição da região R não foi incluída na pergunta que você me enviou (é referida apenas como “a mesma região R do exemplo anterior”), eu não posso escrever os limites nem avaliar a integral para dar um número final. Se você me enviar a descrição explícita de R (por exemplo: retângulo com tais limites, triângulo com tais vértices, ou R=\{(x,y)\mid a\le x\le b,\;g_1(x)\le y\le g_2(x)\}, etc.), eu monto a integral passo a passo e calculo a massa detalhadamente como nos exemplos acima. Força — você já tem o método pronto, falta só a descrição de R!
Resposta
Não é possível calcular a massa porque a descrição da região R (os limites da região) não foi fornecida; é necessária a definição de R para estabelecer e avaliar a integral \iint_{R}\sqrt{x y}\,dA.