[6, Ex.18(b,e,f,h), p.284] Esboçar a região de integração e calcular as integrais.
\int_{-3}^{3} \int_{-\sqrt{9-y^{2}}}^{\sqrt{9-y^{2}}} \int_{4 x^{2}+4 y^{2}-9}^{3 x^{2}+3 y^{2}} d z d y d x

Passo 1

O enunciado nos dá a integral
\int_{-3}^{3} \int_{-\sqrt{9-y^{2}}}^{\sqrt{9-y^{2}}} \int_{4 x^{2}+4 y^{2}-9}^{3 x^{2}+3 y^{2}} dz\, dy\, dx.
Informações relevantes e interpretação (muito importante):
  • Há um pequeno deslize nos limites médios: os limites internos de y aparecem escritos em função de y. Vou interpretar (como usual nesses exercícios) que esses limites dependem de x, ou seja, que eles deveriam ser -\sqrt{9-x^{2}} a \sqrt{9-x^{2}}. Assim usarei
\int_{x=-3}^{3}\int_{y=-\sqrt{9-x^{2}}}^{\sqrt{9-x^{2}}}\int_{z=4x^{2}+4y^{2}-9}^{3x^{2}+3y^{2}} dz\,dy\,dx.
  • O integrando é 1 (pois é apenas dz\,dy\,dx), então a integral tripla calcula o volume da região descrita.
  • Os limites em x,y descrevem o disco no plano xy dado por \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 9\} (disk de raio 3 centrado na origem).
  • Para cada ponto (x,y) neste disco, z varia entre as superfícies z_{\text{inf}}=4x^{2}+4y^{2}-9e z_{\text{sup}}=3x^{2}+3y^{2}.
  • A tarefa: esboçar a região e calcular a integral (ou seja, o volume entre essas duas superfícies sobre o disco).

Passo 2

Entendendo geometricamente a região (passo-a-passo e com desenho mental):
  • No plano xy temos o disco D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 9\}. Esse disco vem dos limites -3\le x\le 3 e -\sqrt{9-x^{2}}\le y\le \sqrt{9-x^{2}}. Imagine um círculo de raio 3.
  • Em cada ponto do disco, a coluna vertical em z tem início em z_{\text{inf}}=4(x^{2}+y^{2})-9 e termina em z_{\text{sup}}=3(x^{2}+y^{2}). Note que ambas as superfícies dependem apenas de r^{2}=x^{2}+y^{2}. Assim as superfícies são paraboloides (apesar do termo constante em z_{\text{inf}}).
  • Esboço mental: eixo z vertical; no centro (0,0) temos z_{\text{inf}}=-9 e z_{\text{sup}}=0. À medida que r cresce até 3, z_{\text{inf}} e z_{\text{sup}} aumentam com r^{2}. No bordo r=3 temos z_{\text{inf}}=4\cdot9-9=27 e z_{\text{sup}}=3\cdot9=27, logo as duas superfícies se encontram na circunferência r=3. Portanto a região é um “sanduíche” vertical cujo topo e fundo coincidem no contorno do disco. Bonito e simétrico.

Passo 3

Redução imediata da integral: integrar em z primeiro (é direto porque o integrando é 1). Quando fazemos
\int_{z=4x^{2}+4y^{2}-9}^{3x^{2}+3y^{2}} dz
o resultado é a diferença entre os limites superior e inferior, ou seja a altura da coluna em cada (x,y):
h(x,y)=3x^{2}+3y^{2}-\big(4x^{2}+4y^{2}-9\big).
Calculemos essa diferença com calma:
h(x,y)=3(x^{2}+y^{2})-4(x^{2}+y^{2})+9 = -1\cdot (x^{2}+y^{2})+9.
Ou seja,
h(x,y)=9-(x^{2}+y^{2}).
Interpretando: o valor da integral tripla reduz-se à integral dupla
\iint_{D} \big(9-(x^{2}+y^{2})\big)\, dA,
onde D é o disco de raio 3. Esse passo é muito comum: integrar a variável que tem limites explícitos dá a “altura” e reduz a dimensão do problema.

Passo 4

Escolha de coordenadas para calcular a integral dupla: por simetria e porque a função depende só de x^{2}+y^{2}, é natural usar coordenadas polares. Vou explicar polares detalhadamente:
  • Em coordenadas polares representamos cada ponto por (r,\theta) com x=r\cos\theta, y=r\sin\theta.
  • O elemento de área em polares é dA = r\, dr\, d\theta. Esse r é o jacobiano da mudança de coordenadas; intuitivamente, um pequeno retângulo em (r,\theta) tem área aproximada r\, \Delta r\, \Delta\theta. Não esquece: sempre que trocamos para polares aparece esse fator r.
  • No nosso caso x^{2}+y^{2}=r^{2}. O disco D vira o retângulo em polares \{0\le r\le 3,\\\ 0\le\theta\le 2\pi\}.
Portanto a integral fica
\iint_{D} \big(9-(x^{2}+y^{2})\big)\, dA = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{3} \big(9-r^{2}\big)\, r\, dr\, d\theta.

Passo 5

Calcule a integral radial com cuidado (mostrando todas as contas):
Primeiro escrevemos o integrando em termos de r:
\big(9-r^{2}\big)\, r = 9r - r^{3}.
Agora integramos em r de 0 a 3:
\int_{0}^{3} (9r - r^{3})\, dr.
Calcule termo a termo. A primitiva de 9r é 9\cdot \dfrac{r^{2}}{2}=\dfrac{9r^{2}}{2}. A primitiva de r^{3} é \dfrac{r^{4}}{4}. Logo
\int_{0}^{3} (9r - r^{3})\, dr = \left[\dfrac{9r^{2}}{2} - \dfrac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{3}.
Avalie em r=3:
\dfrac{9\cdot 3^{2}}{2} - \dfrac{3^{4}}{4} = \dfrac{9\cdot 9}{2} - \dfrac{81}{4} = \dfrac{81}{2} - \dfrac{81}{4}.
Colocando em denominador comum,
\dfrac{81}{2} - \dfrac{81}{4} = \dfrac{162}{4} - \dfrac{81}{4} = \dfrac{81}{4}.
Portanto a integral radial dá \dfrac{81}{4}.

Passo 6

Agora integramos em \theta de 0 a 2\pi. Como o integrando após fazer a integral em r é constante em \theta (não depende de \theta), temos
\int_{0}^{2\pi} \left(\dfrac{81}{4}\right) d\theta = \dfrac{81}{4}\cdot (2\pi) = \dfrac{81}{2}\pi.
Portanto o valor da integral tripla é \dfrac{81\pi}{2}.

Passo 7

Cheque rápido de consistência (para te deixar mais confiante):
  • A altura h(x,y)=9-r^{2} é máxima no centro (r=0), valendo 9, e decresce até zero no contorno r=3. O volume total deve ser positivo. \dfrac{81\pi}{2} é positivo.
  • Uma estimativa grosseira: área do disco é \pi\cdot 3^{2}=9\pi; altura média da função 9-r^{2} será algo como metade do máximo, então volume da ordem de 9\pi\cdot 4{,}5=40{,}5\pi. Nosso resultado é 40{,}5\pi porque \dfrac{81}{2}\pi = 40{,}5\pi. Faz sentido.

Resposta

\dfrac{81\pi}{2}

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