[6, Ex.18(b,e,f,h), p.284] Esboçar a região de integração e calcular as integrais.
Passo 1
O enunciado nos dá a integral
Informações relevantes e interpretação (muito importante):
- Há um pequeno deslize nos limites médios: os limites internos de
aparecem escritos em função de . Vou interpretar (como usual nesses exercícios) que esses limites dependem de , ou seja, que eles deveriam ser a . Assim usarei
- O integrando é
(pois é apenas ), então a integral tripla calcula o volume da região descrita. - Os limites em
descrevem o disco no plano dado por (disk de raio centrado na origem). - Para cada ponto
neste disco, varia entre as superfícies e - A tarefa: esboçar a região e calcular a integral (ou seja, o volume entre essas duas superfícies sobre o disco).
Passo 2
Entendendo geometricamente a região (passo-a-passo e com desenho mental):
- No plano
temos o disco . Esse disco vem dos limites e . Imagine um círculo de raio . - Em cada ponto do disco, a coluna vertical em
tem início em e termina em . Note que ambas as superfícies dependem apenas de . Assim as superfícies são paraboloides (apesar do termo constante em ). - Esboço mental: eixo
vertical; no centro temos e . À medida que cresce até , e aumentam com . No bordo temos e , logo as duas superfícies se encontram na circunferência . Portanto a região é um “sanduíche” vertical cujo topo e fundo coincidem no contorno do disco. Bonito e simétrico.
Passo 3
Redução imediata da integral: integrar em
primeiro (é direto porque o integrando é
). Quando fazemos
o resultado é a diferença entre os limites superior e inferior, ou seja a altura da coluna em cada
:
Calculemos essa diferença com calma:
Ou seja,
Interpretando: o valor da integral tripla reduz-se à integral dupla
onde
é o disco de raio
. Esse passo é muito comum: integrar a variável que tem limites explícitos dá a “altura” e reduz a dimensão do problema.
Passo 4
Escolha de coordenadas para calcular a integral dupla: por simetria e porque a função depende só de
, é natural usar coordenadas polares. Vou explicar polares detalhadamente:
- Em coordenadas polares representamos cada ponto por
com , . - O elemento de área em polares é
. Esse é o jacobiano da mudança de coordenadas; intuitivamente, um pequeno retângulo em tem área aproximada . Não esquece: sempre que trocamos para polares aparece esse fator . - No nosso caso
. O disco vira o retângulo em polares .
Portanto a integral fica
Passo 5
Calcule a integral radial com cuidado (mostrando todas as contas):
Primeiro escrevemos o integrando em termos de :
Primeiro escrevemos o integrando em termos de
Agora integramos em
de
a
:
Calcule termo a termo. A primitiva de
é
. A primitiva de
é
. Logo
Avalie em
:
Colocando em denominador comum,
Portanto a integral radial dá
.
Passo 6
Agora integramos em
de
a
. Como o integrando após fazer a integral em
é constante em
(não depende de
), temos
Portanto o valor da integral tripla é
.
Passo 7
Cheque rápido de consistência (para te deixar mais confiante):
- A altura
é máxima no centro , valendo , e decresce até zero no contorno . O volume total deve ser positivo. é positivo. - Uma estimativa grosseira: área do disco é
; altura média da função será algo como metade do máximo, então volume da ordem de . Nosso resultado é porque . Faz sentido.