Calcule as integrais. No item (c), escreva uma interpretação da integral via volume de sólidos.
\int_{2}^{3} \int_{-1}^{4} \int_{1}^{0} 4 x^{2} y-z^{3} d z d y d x

Passo 1

O enunciado dá a integral iterada
\int_{2}^{3}\int_{-1}^{4}\int_{1}^{0}\bigl(4x^{2}y - z^{3}\bigr)\,dz\,dy\,dx
Peça clara: calcular essa integral. Informações relevantes:
  • A variável de integração mais interna é z com limite inferior 1 e superior 0 (observe que o limite inferior é maior que o superior).
  • Depois integra-se em y de -1 a 4.
  • Por fim integra-se em x de 2 a 3.
  • O integrando é a soma de duas partes separáveis: 4x^{2}y (depende só de x,y) e -z^{3} (depende só de z).
    A partir daqui vamos calcular passo a passo.

Passo 2

Integrar primeiro em z. Vou integrar termo a termo; lembre que a integral indefinida de z^{n} é \dfrac{z^{n+1}}{n+1} (para n\neq -1), e a integral indefinida de uma função que não depende de z em relação a z é essa função multiplicada por z.
  • Antiderivada de 4x^{2}y em relação a z é 4x^{2}y\cdot z, porque 4x^{2}y é constante em z.
  • Antiderivada de -z^{3} em relação a z é -\dfrac{z^{4}}{4}.
    Portanto uma primitiva em z é
F(z)=4x^{2}y\;z - \frac{z^{4}}{4}.
Avalio entre z=1 e z=0 usando \displaystyle \int_{1}^{0} = F(0)-F(1):
F(0)-F(1) = \bigl(0-0\bigr) - \bigl(4x^{2}y\cdot 1 - \tfrac{1^{4}}{4}\bigr) = -4x^{2}y + \tfrac{1}{4}.
Assim a integral fica
\int_{2}^{3}\int_{-1}^{4}\bigl(-4x^{2}y + \tfrac{1}{4}\bigr)\,dy\,dx.

Passo 3

Agora integramos em y. Relembre: a integral de y é \dfrac{y^{2}}{2} e a integral de 1 é y. Faço termo a termo:
\int_{-1}^{4}\bigl(-4x^{2}y + \tfrac{1}{4}\bigr)\,dy = -4x^{2}\int_{-1}^{4} y\,dy + \tfrac{1}{4}\int_{-1}^{4}1\,dy.
Calculo as duas integrais:
\int_{-1}^{4} y\,dy = \left.\frac{y^{2}}{2}\right|_{-1}^{4} = \frac{4^{2}}{2} - \frac{(-1)^{2}}{2} = \frac{16}{2} - \frac{1}{2} = \frac{15}{2}.
\int_{-1}^{4} 1\,dy = \left.y\right|_{-1}^{4} = 4 - (-1) = 5.
Substituindo:
-4x^{2}\cdot \frac{15}{2} + \tfrac{1}{4}\cdot 5 = -30x^{2} + \frac{5}{4}.
Então a integral reduz para
\int_{2}^{3}\left(-30x^{2} + \frac{5}{4}\right)\,dx.

Passo 4

Integro em x. Use \int x^{2} dx = \dfrac{x^{3}}{3} e \int 1\,dx = x:
\int_{2}^{3}\left(-30x^{2} + \frac{5}{4}\right)\,dx = -30\int_{2}^{3} x^{2}dx + \frac{5}{4}\int_{2}^{3}1\,dx
= -30\left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{2}^{3} + \frac{5}{4}\left.x\right|_{2}^{3} = -10\bigl(x^{3}\bigr)\Big|_{2}^{3} + \frac{5}{4}(3-2).
Avalio:
-10\bigl(3^{3}-2^{3}\bigr) + \frac{5}{4}\cdot 1 = -10(27-8) + \frac{5}{4} = -10\cdot 19 + \frac{5}{4} = -190 + \frac{5}{4}.
Escrevendo em única fração com denominador 4:
-190 + \frac{5}{4} = -\frac{760}{4} + \frac{5}{4} = -\frac{755}{4}.
Portanto o valor da integral é -\dfrac{755}{4}.

Passo 5

Verificação alternativa (truque que economiza tempo): como o integrando separa em função de (x,y) mais função de z,
4x^{2}y - z^{3} = A(x,y) + B(z),
e a região é um paralelepípedo (produto de intervalos), podemos usar Fubini e separar:
\iiint (4x^{2}y - z^{3})\,dV = \iiint 4x^{2}y\,dV - \iiint z^{3}\,dV.
  • Para \iiint 4x^{2}y\,dV: como independe de z, \int_{1}^{0}dz = -1, então isso vale -\iint 4x^{2}y\,dA_{xy} = -30\int_{2}^{3} x^{2}dx = -190.
  • Para \iiint z^{3}\,dV: como independe de x,y, a área da base em xy é (3-2)\cdot(4-(-1))=1\cdot5=5, e \int_{1}^{0} z^{3}dz = -\tfrac{1}{4}, então esse termo vale 5\cdot(-\tfrac{1}{4}) = -\tfrac{5}{4}. Subtraindo: -190 - (-\tfrac{5}{4}) = -\tfrac{755}{4}, confirma o resultado.

Passo 6

Interpretação via volume de sólidos (item (c)):
  • Uma integral tripla de uma função f(x,y,z) sobre uma região R dá o volume “assinado” sob a superfície w=f(x,y,z) e acima da região R no espaço (x,y,z). Onde f>0 contribui com volume positivo e onde f<0 com volume negativo; por isso chamamos de volume assinado.
  • No nosso caso f(x,y,z)=4x^{2}y - z^{3}. A região R é o paralelepípedo \{(x,y,z)\mid 2\le x\le 3,\,-1\le y\le 4,\,1\le z\le 0\}. (Obs.: os limites em z aparecem invertidos; geometricamente a região corresponde ao intervalo entre z=0 e z=1, mas a convenção de integração dá sinal negativo por integrar de 1 a 0.)
  • Podemos ver a integral como a diferença de dois “volumes assinados”: um gerado pela função 4x^{2}y (constante em z) multiplicado pela espessura em z, e outro pelo termo z^{3} (independente de x,y). O resultado negativo -\dfrac{755}{4} indica que, globalmente sobre a região, a parte onde f é negativa domina: a contribuição total abaixo do plano w=0 é maior em magnitude que a acima.
  • Alternativamente, se f for interpretada como densidade volumétrica, então a integral é a massa total do sólido com essa densidade sobre R.

Resposta

-\dfrac{755}{4}

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