Calcule as integrais. No item (c), escreva uma interpretação da integral via volume de sólidos. \int_{2}^{3} \int_{-1}^{4} \int_{1}^{0} 4 x^{2} y-z^{3} d z d y d x
Peça clara: calcular essa integral. Informações relevantes:
A variável de integração mais interna é z com limite inferior 1 e superior 0 (observe que o limite inferior é maior que o superior).
Depois integra-se em y de -1 a 4.
Por fim integra-se em x de 2 a 3.
O integrando é a soma de duas partes separáveis: 4x^{2}y (depende só de x,y) e -z^{3} (depende só de z).
A partir daqui vamos calcular passo a passo.
Passo 2
Integrar primeiro em z. Vou integrar termo a termo; lembre que a integral indefinida de z^{n} é \dfrac{z^{n+1}}{n+1} (para n\neq -1), e a integral indefinida de uma função que não depende de z em relação a z é essa função multiplicada por z.
Antiderivada de 4x^{2}y em relação a z é 4x^{2}y\cdot z, porque 4x^{2}y é constante em z.
Antiderivada de -z^{3} em relação a z é -\dfrac{z^{4}}{4}.
Portanto uma primitiva em z é
F(z)=4x^{2}y\;z - \frac{z^{4}}{4}.
Avalio entre z=1 e z=0 usando \displaystyle \int_{1}^{0} = F(0)-F(1):
Para \iiint 4x^{2}y\,dV: como independe de z, \int_{1}^{0}dz = -1, então isso vale -\iint 4x^{2}y\,dA_{xy} = -30\int_{2}^{3} x^{2}dx = -190.
Para \iiint z^{3}\,dV: como independe de x,y, a área da base em xy é (3-2)\cdot(4-(-1))=1\cdot5=5, e \int_{1}^{0} z^{3}dz = -\tfrac{1}{4}, então esse termo vale 5\cdot(-\tfrac{1}{4}) = -\tfrac{5}{4}. Subtraindo: -190 - (-\tfrac{5}{4}) = -\tfrac{755}{4}, confirma o resultado.
Passo 6
Interpretação via volume de sólidos (item (c)):
Uma integral tripla de uma função f(x,y,z) sobre uma região R dá o volume “assinado” sob a superfície w=f(x,y,z) e acima da região R no espaço (x,y,z). Onde f>0 contribui com volume positivo e onde f<0 com volume negativo; por isso chamamos de volume assinado.
No nosso caso f(x,y,z)=4x^{2}y - z^{3}. A região R é o paralelepípedo \{(x,y,z)\mid 2\le x\le 3,\,-1\le y\le 4,\,1\le z\le 0\}. (Obs.: os limites em z aparecem invertidos; geometricamente a região corresponde ao intervalo entre z=0 e z=1, mas a convenção de integração dá sinal negativo por integrar de 1 a 0.)
Podemos ver a integral como a diferença de dois “volumes assinados”: um gerado pela função 4x^{2}y (constante em z) multiplicado pela espessura em z, e outro pelo termo z^{3} (independente de x,y). O resultado negativo -\dfrac{755}{4} indica que, globalmente sobre a região, a parte onde f é negativa domina: a contribuição total abaixo do plano w=0 é maior em magnitude que a acima.
Alternativamente, se f for interpretada como densidade volumétrica, então a integral é a massa total do sólido com essa densidade sobre R.