Exercise 4. Quais condições as constantes \lambda_{1} e \lambda_{2} devem satisfazer a fim de que o seguinte sistema linear possua uma única solução (não é necessário calculá-la)?
A pergunta é: quais condições as constantes \lambda_{1} e \lambda_{2} devem satisfazer para que o sistema tenha uma única solução?
Informações relevantes dadas:
A matriz dos coeficientes é A (mostrada acima).
As constantes \lambda_{1} e \lambda_{2} são parâmetros desconhecidos na matriz.
Não é pedido calcular a solução, apenas determinar condição(s) sobre \lambda_{1},\lambda_{2} que garantam unicidade da solução.
Passo 2
Fato teórico (útil e simples): um sistema linear A X = b com A quadrada possui solução única se, e somente se, a matriz A for invertível. Uma maneira prática de verificar invertibilidade é calcular o determinante: A é invertível exatamente quando \det(A)\neq 0.
Explicando rápido o porquê (sem formalidades pesadas): se \det(A)\neq 0 então existe A^{-1} e a solução é X=A^{-1}b (única). Se \det(A)=0, A não é invertível e o sistema pode não ter solução ou ter infinitas soluções.
Portanto, para garantir solução única basta impor \det(A)\neq 0. A próxima etapa é calcular \det(A) em termos de \lambda_{1} e \lambda_{2}.
Passo 3
Vamos calcular \det(A) expandindo pela primeira linha (expansão por co-fatores). A primeira linha é [1,\;0,\;-1]. Os menores correspondentes são:
Pelo Passo 2, a condição para existência de solução única é \det(A)\neq 0. Portanto exigimos
3 - \lambda_{2}(\lambda_{1}+2)\neq 0,
ou equivalentemente
\lambda_{2}(\lambda_{1}+2)\neq 3.
Observação útil (para interpretar casos particulares): se \lambda_{1}=-2 então \lambda_{2}(\lambda_{1}+2)=0 e a desigualdade fica 0\neq 3, que é verdadeira para qualquer \lambda_{2}; portanto quando \lambda_{1}=-2 a matriz é sempre invertível (determinante igual a 3). Em outros casos, deve-se evitar escolher \lambda_{1},\lambda_{2} que satisfaçam \lambda_{2}(\lambda_{1}+2)=3.