Encontrar o conjunto solução do sistema homogêneo associado
A X = 0.
Informações relevantes fornecidas:
Número de incógnitas: 7 (vetor X=(x_1,\dots,x_7)^T).
Número de equações: 4.
A matriz A e o vetor b estão explícitos (copiados acima).
Precisamos dar as soluções em forma paramétrica, identificando variáveis básicas e livres e também a solução geral do homogêneo.
Passo 2
Vou montar a matriz aumentada [A\mid b] e aplicar eliminação de Gauss (linha a linha), mostrando as operações e explicando cada etapa. A matriz aumentada inicial é
Organizo a solução geral do sistema não homogêneo em forma vetorial (particular + combinações lineares das direções associadas aos parâmetros). Escrevo X como vetor coluna com os parâmetros s,t,u:
Isto já dá o conjunto solução completo do sistema não homogêneo.]
Passo 9
Agora o sistema homogêneo A X = 0: basta repetir a forma geral acima com o vetor independente nulo. Ou seja, pegar a redução escalonada (mesmas pivôs) mas com termos independentes todos zero; as equações ficam
Comentário didático: isso mostra que o espaço nulo (nullspace) tem dimensão 3 (três variáveis livres) e que uma base para o núcleo pode ser escolhida pelos três vetores acima. Se quiser uma base com entradas inteiras pode multiplicar o segundo vetor por 2 e ajustar o parâmetro, mas a forma dada é perfeitamente válida.]