o conjunto solução do sistema não homogêneo A X = b;
o conjunto solução do sistema homogêneo associado A X = 0.
As incógnitas são X=\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix}. Vou resolver por eliminação de Gauss (redução por linhas) para encontrar a forma escalonada e, daí, a solução geral.]
Passo 2
Breve lembrete didático sobre eliminação de Gauss e interpretação: podemos aplicar operações elementares nas linhas (trocar linhas, multiplicar linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha em outra) sem alterar o conjunto de soluções. O objetivo é obter linhas com pivôs (primeiro coeficiente não nulo) e eliminar abaixo (e depois acima) desses pivôs para expressar algumas variáveis em função de outras. Variáveis correspondentes a colunas sem pivô são livres (paramétricas).
Portanto o espaço nulo (núcleo) de A é a reta unidimensional gerada por \begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}. A nulidade é 3-\operatorname{rank}(A)=3-2=1.]
Passo 9
Resumo interpretativo (para lembrar na prova): toda solução do sistema não homogêneo é uma solução particular (por ex. \begin{pmatrix}2\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}) acrescida de uma solução do homogêneo. O conjunto solução do homogêneo é um subespaço linear (uma reta passando pela origem); o conjunto solução do não homogêneo é uma reta paralela a essa, deslocada pela solução particular.]