Exercise 2. Encontre o conjunto solução de cada sistema linear a seguir e também de cada sistema linear homogêneo associado.
\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -2 \\\ 2 & 2 & -3 \\\ 3 & 3 & 1\end{array}\right] X=\left[\begin{array}{l}0 \\\ 1 \\\ 7\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com matriz dos coeficientes e o vetor termo independente:
A=\begin{pmatrix}1 & 1 & -2 \\[4pt] 2 & 2 & -3 \\[4pt] 3 & 3 & 1\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]7\end{pmatrix},
e pede:
  • o conjunto solução do sistema não homogêneo A X = b;
  • o conjunto solução do sistema homogêneo associado A X = 0.
As incógnitas são X=\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix}. Vou resolver por eliminação de Gauss (redução por linhas) para encontrar a forma escalonada e, daí, a solução geral.]

Passo 2

Breve lembrete didático sobre eliminação de Gauss e interpretação: podemos aplicar operações elementares nas linhas (trocar linhas, multiplicar linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha em outra) sem alterar o conjunto de soluções. O objetivo é obter linhas com pivôs (primeiro coeficiente não nulo) e eliminar abaixo (e depois acima) desses pivôs para expressar algumas variáveis em função de outras. Variáveis correspondentes a colunas sem pivô são livres (paramétricas).

Passo 3

Escrevo a matriz aumentada [A\mid b]:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -2 & 0\\[4pt] 2 & 2 & -3 & 1\\[4pt] 3 & 3 & 1 & 7 \end{array}\right]]

Passo 4

Eliminação abaixo do primeiro pivô (entrada (1,1)=1):
Faço R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1 e R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1.
Calculemos cada entrada:
  • Para R_2: 2-2\cdot1=0,\;2-2\cdot1=0,\;-3-2\cdot(-2)= -3+4=1,\;1-2\cdot0=1.
  • Para R_3: 3-3\cdot1=0,\;3-3\cdot1=0,\;1-3\cdot(-2)=1+6=7,\;7-3\cdot0=7.
    A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 7 & 7 \end{array}\right]]

Passo 5

Eliminação na terceira linha usando a segunda: faço R_3 \leftarrow R_3 - 7R_2.
  • Terceira linha: 7-7\cdot1=0 e 7-7\cdot1=0. Logo a terceira linha se torna nula:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]
Portanto o sistema é consistente (não aparece linha do tipo 0= c com c\neq0). O posto (rank) da matriz aumentada é 2 e o posto de A também é 2.]

Passo 6

Agora elimino acima do pivô na coluna 3 para simplificar (voltar à forma reduzida): use R_1 \leftarrow R_1 + 2R_2 para zerar o -2 em (1,3).
  • Nova R_1: coeficientes 1,\;1,\;-2+2\cdot1=0 e termo independente 0+2\cdot1=2.
    A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].]

Passo 7

Interpreto as equações já simplificadas:
  • Da primeira linha: x + y = 2.
  • Da segunda linha: z = 1.
    A terceira linha é 0=0 (sem informação nova).
Aqui a variável y aparece sem pivô (a segunda coluna não tem pivô), logo y é livre. Denoto y=t com t\in\mathbb{R}. Então:
z=1,\qquad x = 2 - y = 2 - t.
Escrevendo vetor solução:
X=\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2-t\\[4pt]t\\[4pt]1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix} +t\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix},\qquad t\in\mathbb{R}.
Isto mostra que o conjunto solução do sistema não homogêneo é uma reta afim (translação de um subespaço de dimensão 1).]

Passo 8

Agora o sistema homogêneo A X = 0. Repetindo a eliminação mas com o vetor nulo, os passos dão as mesmas relações sem termos independentes:
  • Da segunda linha z=0.
  • Da primeira linha x + y = 0 então x = -y.
    Escolhendo y=t, obtemos
X=\begin{pmatrix}-t\\[4pt]t\\[4pt]0\end{pmatrix} =t\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix},\qquad t\in\mathbb{R}.
Portanto o espaço nulo (núcleo) de A é a reta unidimensional gerada por \begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}. A nulidade é 3-\operatorname{rank}(A)=3-2=1.]

Passo 9

Resumo interpretativo (para lembrar na prova): toda solução do sistema não homogêneo é uma solução particular (por ex. \begin{pmatrix}2\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}) acrescida de uma solução do homogêneo. O conjunto solução do homogêneo é um subespaço linear (uma reta passando pela origem); o conjunto solução do não homogêneo é uma reta paralela a essa, deslocada pela solução particular.]

Resposta

\displaystyle \{\,X\in\mathbb{R}^3 \mid X=\begin{pmatrix}2\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix},\\ t\in\mathbb{R}\,\}
\displaystyle \{\,X\in\mathbb{R}^3 \mid X=t\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix},\\ t\in\mathbb{R}\,\}]

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