Vou resolver o primeiro sistema por eliminação (Gauss) e, a partir daí, obter a solução do homogêneo. Não sigo mais nada aqui; a resolução começa no próximo passo.]
Passo 2
Primeiro escrevo a matriz aumentada do sistema (coeficientes à esquerda e b à direita):
Lembrete rápido sobre operações elementares (úteis para reduzir a matriz): pode-se trocar linhas, multiplicar uma linha por número não nulo, ou somar múltiplos de uma linha a outra. O objetivo é chegar a uma forma triangular (ou à forma reduzida) para ler as equações facilmente.]
Passo 3
Uso R_i para indicar a linha i. Elimino os elementos abaixo do primeiro pivô (que está em 2 na posição (1,1)):
Faço R_2 \leftarrow R_2 + 2R_1 e R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1. Calculando cada entrada:
Agora quero eliminar o elemento na coluna 2 da terceira linha usando a segunda linha como pivô. Faço R_3 \leftarrow R_3 - R_2. Subtraindo termos linha a linha:
Resumo das incógnitas em função de uma variável livre. Note que a variável x_3 não foi pivoteada (não apareceu como pivô em nenhuma linha), então é livre. Chamo t o parâmetro associado a x_3:
Agora o sistema homogêneo associado é A X = 0 com a mesma matriz de coeficientes. A redução feita anteriormente (colocando o lado direito como zeros) leva às mesmas relações, mas com termos constantes igual a zero. Da terceira linha do homogêneo vem 3x_4 = 0 então x_4 = 0. Da segunda linha vem x_2 - x_3 + 2x_4 = 0 e, com x_4=0, obtemos x_2 = x_3. Da primeira linha vem 2x_1 + x_2 + 3x_3 = 0 que, substituindo x_2=x_3, dá 2x_1 + 4x_3 = 0, ou x_1 = -2x_3.
Tomando x_3 = s como parâmetro livre, s\in\mathbb{R}, a solução geral do homogêneo é
X = s \begin{pmatrix} -2 \\[4pt] 1 \\[4pt] 1 \\[4pt] 0 \end{pmatrix},\qquad s\in\mathbb{R}.
Ou seja, o espaço das soluções do homogêneo (o núcleo de A) é a reta gerada pelo vetor \begin{pmatrix}-2&1&1&0\end{pmatrix}^T.]