Exercise 5.1. Find the probabilities under equal likely outcomes.
Roll two dice.
P\{\text { sum is } 7\}=\frac{\#(A)}{\#(\Omega)}=

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que, ao lançar dois dados, a soma dos pontos seja 7.
Informações dadas (explicitamente ou implicitamente):
  • Temos dois dados justos (resultados igualmente prováveis).
  • Evento A: “a soma é 7”.
  • Queremos calcular P\{\text{sum is }7\}=\dfrac{\#(A)}{\#(\Omega)}.

Passo 2

Primeiro temos que entender o espaço amostral \Omega. Cada lançamento do par de dados produz um par ordenado (i,j), onde i é o resultado do primeiro dado e j do segundo. Como cada dado tem 6 faces numeradas de 1 a 6, os valores possíveis são i,j\in\{1,2,3,4,5,6\}. Logo, o número total de resultados possíveis é o produto do número de resultados de cada dado:
\#(\Omega)=6\cdot 6=36.
Explicação didática: contar pares ordenados significa que (1,6) e (6,1) são resultados distintos — importa qual dado deu qual número.

Passo 3

Agora identificamos os resultados favoráveis ao evento A (soma igual a 7). Precisamos listar todos os pares ordenados (i,j) tais que i+j=7. Vamos listar sistematicamente:
(1,6),\\ (2,5),\\ (3,4),\\ (4,3),\\ (5,2),\\ (6,1).
Contando-os, obtemos
\#(A)=6.
Dica didática: por simetria os pares se “espelham” — para cada i existe um j=7-i.

Passo 4

Aplicamos a fórmula de probabilidade para resultados igualmente prováveis:
P(A)=\frac{\#(A)}{\#(\Omega)}=\frac{6}{36}.
Agora simplificamos a fração dividindo numerador e denominador por 6:
\frac{6}{36}=\frac{1}{6}.
Interpretação rápida: em média, se eu repetir esse experimento muitas vezes, cerca de 1 em cada 6 lançamentos terá soma 7.

Passo 5

Observação extra útil para prova (memorização): as frequências das somas possíveis vão como 1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1 para as somas 2,3,\dots,12. A soma 7 tem a maior frequência ( 6 ocorrências), por isso é a soma mais provável.

Resposta

\dfrac{1}{6}

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