Exercise 5.1. Find the probabilities under equal likely outcomes.
Toss a coin three times.
Toss a coin three times.
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de, ao lançar uma moeda três vezes, obter “pelo menos duas caras seguidas”. As informações relevantes que o enunciado dá são:
- Temos três lançamentos de uma moeda justa (resultados igualmente prováveis).
- O espaço amostral é o conjunto de todas as sequências possíveis de três resultados (cada resultado sendo Cara
ou Coroa ). - Queremos calcular
, onde é o evento “pelo menos duas caras consecutivas” e é o espaço amostral.
Passo 2
Calcular o tamanho do espaço amostral
. Cada lançamento tem 2 resultados possíveis:
ou
. Quando fazemos 3 lançamentos independentes, aplicamos a regra do produto (contagem combinatória): o número total de sequências é
Breve explicação didática: a regra do produto diz que se um experimento tem
possibilidades e outro independente tem
, então juntos há
possibilidades. Aqui são três experimentos idênticos com
possibilidades cada, então
.
Passo 3
Listar explicitamente todas as
sequências (útil para não errar ao contar o evento):
Explicação: cada elemento é a sequência dos resultados do primeiro, segundo e terceiro lançamento, por exemplo
significa 1.º lançamento
, 2.º
, 3.º
.
Passo 4
Definir claramente o evento
: “pelo menos duas caras seguidas” significa que na sequência aparece o padrão
em posições consecutivas. Para três lançamentos as possibilidades de ter
são:
-
(tem nas posições 1–2 e também nas 2–3; também conta porque tem pelo menos duas consecutivas), -
(tem nas posições 1–2), -
(tem nas posições 2–3).
Verificamos as demais sequências: -
não tem (as caras estão separadas por uma coroa), -
também não têm .
Portanto os elementos desão exatamente
Passo 5
Contar os elementos de
:
Comentário didático rápido: você poderia também ter contado pelo complemento (sequências sem
) e subtraído de
; aqui o complemento tem 5 elementos, então
. Para
maiores essa contagem por complemento leva a uma recorrência do tipo Fibonacci, mas para
lançamentos listar é imediato.
Passo 6
Calcular a probabilidade pedida usando a fórmula dada:
Interpretação rápida: entre as 8 sequências igualmente prováveis, 3 satisfazem a condição, logo a probabilidade é
(aproximadamente
). Vai dar tudo certo na prova — você já aprendeu a listar, aplicar regra do produto e a identificar padrões como
!