Exercise 5.1. Find the probabilities under equal likely outcomes.
Toss a coin three times.
P\{\text { toss at least two heads in a row }\}=\frac{\#(A)}{\#(\Omega)}=

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de, ao lançar uma moeda três vezes, obter “pelo menos duas caras seguidas”. As informações relevantes que o enunciado dá são:
  • Temos três lançamentos de uma moeda justa (resultados igualmente prováveis).
  • O espaço amostral é o conjunto de todas as sequências possíveis de três resultados (cada resultado sendo Cara H ou Coroa T).
  • Queremos calcular P\{\text{toss at least two heads in a row}\}=\dfrac{\#(A)}{\#(\Omega)}, onde A é o evento “pelo menos duas caras consecutivas” e \Omega é o espaço amostral.

Passo 2

Calcular o tamanho do espaço amostral \Omega. Cada lançamento tem 2 resultados possíveis: H ou T. Quando fazemos 3 lançamentos independentes, aplicamos a regra do produto (contagem combinatória): o número total de sequências é
\#(\Omega)=2\times2\times2=2^{3}=8.
Breve explicação didática: a regra do produto diz que se um experimento tem m possibilidades e outro independente tem n, então juntos há m\cdot n possibilidades. Aqui são três experimentos idênticos com 2 possibilidades cada, então 2\cdot2\cdot2.

Passo 3

Listar explicitamente todas as 8 sequências (útil para não errar ao contar o evento):
\Omega=\{\,HHH,\;HHT,\;HTH,\;HTT,\;THH,\;THT,\;TTH,\;TTT\,\}.
Explicação: cada elemento é a sequência dos resultados do primeiro, segundo e terceiro lançamento, por exemplo HHT significa 1.º lançamento H, 2.º H, 3.º T.

Passo 4

Definir claramente o evento A: “pelo menos duas caras seguidas” significa que na sequência aparece o padrão HH em posições consecutivas. Para três lançamentos as possibilidades de ter HH são:
  • HHH (tem HH nas posições 1–2 e também nas 2–3; também conta porque tem pelo menos duas consecutivas),
  • HHT (tem HH nas posições 1–2),
  • THH (tem HH nas posições 2–3).
    Verificamos as demais sequências:
  • HTH não tem HH (as caras estão separadas por uma coroa),
  • HTT, THT, TTH, TTT também não têm HH.
    Portanto os elementos de A são exatamente
A=\{\,HHH,\;HHT,\;THH\,\}.

Passo 5

Contar os elementos de A:
\#(A)=3.
Comentário didático rápido: você poderia também ter contado pelo complemento (sequências sem HH) e subtraído de 8; aqui o complemento tem 5 elementos, então 8-5=3. Para n maiores essa contagem por complemento leva a uma recorrência do tipo Fibonacci, mas para 3 lançamentos listar é imediato.

Passo 6

Calcular a probabilidade pedida usando a fórmula dada:
P\{\text{pelo menos duas caras seguidas}\}=\frac{\#(A)}{\#(\Omega)}=\frac{3}{8}.
Interpretação rápida: entre as 8 sequências igualmente prováveis, 3 satisfazem a condição, logo a probabilidade é \dfrac{3}{8} (aproximadamente 0{,}375). Vai dar tudo certo na prova — você já aprendeu a listar, aplicar regra do produto e a identificar padrões como HH!

Resposta

\dfrac{3}{8}

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