Exercise 6. Resolver o sistema
Passo 1
O enunciado dá um sistema de quatro equações lineares com duas incógnitas
e
:
O que se pede: resolver o sistema, ou seja, encontrar todos os pares
que satisfazem simultaneamente as quatro equações.
Informações relevantes dadas:
- Há quatro equações lineares em duas incógnitas.
- Pode ser que o sistema seja compatível (tem solução única ou infinitas soluções) ou incompatível (não tem solução). Temos que verificar qual é o caso.]
Passo 2
Escolha do método e ideia geral (explicação didática leve).
- Vou usar o método da substituição porque há uma equação simples
(a quarta). A substituição consiste em isolar uma variável numa equação simples e substituir nas outras para ver se aparece um par que satisfaça todas. - Se, ao substituir, diferentes equações exigirem valores diferentes para
ou , isso indica incompatibilidade (não existe que satisfaça tudo). - Vou mostrar passo a passo como isolar e substituir, e comparar os valores que cada par de equações exige.
(Lembrete didático rápido sobre substituição: isolar significa escrever uma variável em função da outra; depois substituir essa expressão em cada equação restante e resolver para a variável restante.)
Passo 3
Isolar
usando a equação
.
Agora vou usar essa expressão para substituir em cada uma das outras três equações, uma a uma, e ver que valor de
cada uma exige.
Passo 4
Substituição na primeira equação
.
Substituindo :
Substituindo
Desenvolvendo:
Com esse
,
Portanto a combinação das equações (1) e (4) exige o par
Portanto a combinação das equações (1) e (4) exige o par
Passo 5
Substituição na segunda equação
.
Substituindo :
Substituindo
Desenvolvendo:
Com esse
,
Portanto a combinação das equações (2) e (4) exige o par
Portanto a combinação das equações (2) e (4) exige o par
Passo 6
Substituição na terceira equação
.
Substituindo :
Substituindo
Desenvolvendo:
Com esse
,
Portanto a combinação das equações (3) e (4) exige o par
Portanto a combinação das equações (3) e (4) exige o par
Passo 7
Comparação e conclusão (explicação didática sobre incompatibilidade).
- Das três substituições usando a mesma equação
obtemos três pares distintos: - Se existisse uma solução
que satisfizesse todas as quatro equações ao mesmo tempo, ela deveria coincidir com os três pares acima ao mesmo tempo — isto é impossível porque são três pares diferentes. - Portanto não existe nenhum par
que satisfaça simultaneamente todas as quatro equações. Em linguagem linear: o sistema é incompatível (sem solução).
Comentário didático final: quando o número de equações é maior que o número de incógnitas (sistema sobredeterminado), o jeito prático na prova é obter uma solução candidata a partir de um subconjunto de equações simples e verificar nas restantes; se alguma restante contradizer, o sistema não tem solução. Outra forma, mais formal, é escrever a matriz aumentada e ver que o posto da matriz dos coeficientes é diferente do posto da matriz aumentada (isso também indica incompatibilidade), mas para esta questão a substituição direta é mais rápida.
Resposta
O sistema é incompatível — não há solução.