Exercise 6. Resolver o sistema
\begin{array}{cc} 4 x+7 y & =3 \\ 2 x+4 y & =-1 \\ 3 x-2 y & =-6 \\ x+y & =1 \\ \hline \end{array}

Passo 1

O enunciado dá um sistema de quatro equações lineares com duas incógnitas x e y:
\begin{array}{rcl} 4x+7y &=& 3,\\[4pt] 2x+4y &=& -1,\\[4pt] 3x-2y &=& -6,\\[4pt] x+y &=& 1. \end{array}
O que se pede: resolver o sistema, ou seja, encontrar todos os pares (x,y) que satisfazem simultaneamente as quatro equações.
Informações relevantes dadas:
  • Há quatro equações lineares em duas incógnitas.
  • Pode ser que o sistema seja compatível (tem solução única ou infinitas soluções) ou incompatível (não tem solução). Temos que verificar qual é o caso.]

Passo 2

Escolha do método e ideia geral (explicação didática leve).
  • Vou usar o método da substituição porque há uma equação simples \,x+y=1\, (a quarta). A substituição consiste em isolar uma variável numa equação simples e substituir nas outras para ver se aparece um par (x,y) que satisfaça todas.
  • Se, ao substituir, diferentes equações exigirem valores diferentes para x ou y, isso indica incompatibilidade (não existe x,y que satisfaça tudo).
  • Vou mostrar passo a passo como isolar e substituir, e comparar os valores que cada par de equações exige.
(Lembrete didático rápido sobre substituição: isolar significa escrever uma variável em função da outra; depois substituir essa expressão em cada equação restante e resolver para a variável restante.)

Passo 3

Isolar x usando a equação \,x+y=1.
x = 1 - y.
Agora vou usar essa expressão para substituir em cada uma das outras três equações, uma a uma, e ver que valor de y cada uma exige.

Passo 4

Substituição na primeira equação \,4x+7y=3.
Substituindo x=1-y:
4(1-y)+7y = 3.
Desenvolvendo:
4 - 4y + 7y = 3,
4 + 3y = 3,
3y = 3-4 = -1,
y = -\dfrac{1}{3}.
Com esse y, x = 1 - y = 1 - \bigl(-\dfrac{1}{3}\bigr) = 1 + \dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{3}.
Portanto a combinação das equações (1) e (4) exige o par
\bigl(x,y\bigr) = \left(\dfrac{4}{3}, -\dfrac{1}{3}\right).

Passo 5

Substituição na segunda equação \,2x+4y=-1.
Substituindo x=1-y:
2(1-y)+4y = -1.
Desenvolvendo:
2 - 2y + 4y = -1,
2 + 2y = -1,
2y = -3,
y = -\dfrac{3}{2}.
Com esse y, x = 1 - y = 1 - \left(-\dfrac{3}{2}\right) = 1 + \dfrac{3}{2} = \dfrac{5}{2}.
Portanto a combinação das equações (2) e (4) exige o par
\bigl(x,y\bigr) = \left(\dfrac{5}{2}, -\dfrac{3}{2}\right).

Passo 6

Substituição na terceira equação \,3x-2y=-6.
Substituindo x=1-y:
3(1-y)-2y = -6.
Desenvolvendo:
3 - 3y - 2y = -6,
3 - 5y = -6,
-5y = -9,
y = \dfrac{9}{5}.
Com esse y, x = 1 - y = 1 - \dfrac{9}{5} = \dfrac{5}{5} - \dfrac{9}{5} = -\dfrac{4}{5}.
Portanto a combinação das equações (3) e (4) exige o par
\bigl(x,y\bigr) = \left(-\dfrac{4}{5}, \dfrac{9}{5}\right).

Passo 7

Comparação e conclusão (explicação didática sobre incompatibilidade).
  • Das três substituições usando a mesma equação \,x+y=1\, obtemos três pares distintos: \left(\dfrac{4}{3}, -\dfrac{1}{3}\right),\quad \left(\dfrac{5}{2}, -\dfrac{3}{2}\right),\quad \left(-\dfrac{4}{5}, \dfrac{9}{5}\right).
  • Se existisse uma solução (x,y) que satisfizesse todas as quatro equações ao mesmo tempo, ela deveria coincidir com os três pares acima ao mesmo tempo — isto é impossível porque são três pares diferentes.
  • Portanto não existe nenhum par (x,y) que satisfaça simultaneamente todas as quatro equações. Em linguagem linear: o sistema é incompatível (sem solução).
Comentário didático final: quando o número de equações é maior que o número de incógnitas (sistema sobredeterminado), o jeito prático na prova é obter uma solução candidata a partir de um subconjunto de equações simples e verificar nas restantes; se alguma restante contradizer, o sistema não tem solução. Outra forma, mais formal, é escrever a matriz aumentada e ver que o posto da matriz dos coeficientes é diferente do posto da matriz aumentada (isso também indica incompatibilidade), mas para esta questão a substituição direta é mais rápida.

Resposta

O sistema é incompatível — não há solução.

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