Exercise 5. Grafique as retas L_{1}: 8 x-3 y=7 e L_{2}:-4 x+y=-5 e conclúa que o sistema
\begin{array}{rlr|} 8 x-3 y & = & 7 \\\\ -4 x+y & = & -5 \\\ \hline \end{array}
tem única solução. Quál é essa solução?

Passo 1

O enunciado dá duas retas e pede para graficá‑las e concluir que o sistema associado tem solução única, e perguntar qual é essa solução.
Informações fornecidas:
  • Reta L_{1}: 8x-3y=7.
  • Reta L_{2}: -4x+y=-5.
O que é pedido:
  1. Fazer o gráfico (ou pelo menos analisar geometricamente) de L_{1} e L_{2}.
  2. Concluir que o sistema
\begin{array}{rlr|} 8x-3y & = & 7 \\\\ -4x+y & = & -5 \\\ \hline \end{array}
tem única solução.
3. Determinar qual é essa solução.

Passo 2

Como se costuma grafar uma reta: escrever na forma inclinação‑intercepto y=mx+b, onde m é a inclinação (slope) e b é o intercepto em y (o ponto onde a reta cruza o eixo y, isto é, x=0). A interpretação é:
  • m diz quanto y cresce quando x aumenta uma unidade.
  • b é o valor de y quando x=0.
Vamos pôr cada equação nessa forma.

Passo 3

Para L_{1}:
8x-3y=7
isola‑se y:
-3y=7-8x
y=\frac{8}{3}x-\frac{7}{3}.
Logo para L_{1} temos inclinação m_{1}=\frac{8}{3} e intercepto b_{1}=-\frac{7}{3}.
Para L_{2}:
-4x+y=-5
isola‑se y:
y=4x-5.
Logo para L_{2} temos inclinação m_{2}=4 e intercepto b_{2}=-5.
Observações para o gráfico (o suficiente para entender a posição das retas):
  • Ambas são retas não verticais (podem ser escritas como y=mx+b).
  • As inclinações são diferentes: m_{1}=\tfrac{8}{3} e m_{2}=4. Como m_{1}\neq m_{2}, as retas não são paralelas e, geometricamente, duas retas não paralelas no plano se cruzam exatamente em um ponto.
Portanto, já se pode concluir geometricamente que o sistema tem uma única solução (o ponto de interseção). Agora vamos achar esse ponto de interseção algébrica e verificar.

Passo 4

Explicando rapidamente o método de eliminação que vou usar: a ideia é combinar as duas equações linearmente (somar, subtrair ou multiplicar por constantes) de modo a eliminar uma variável, ficando uma equação com apenas a outra variável. Isso é rápido e fácil de fazer sem calculadora.
Começamos com as equações originais:
\begin{cases} 8x-3y=7,\\[4pt] -4x+y=-5. \end{cases}
Para eliminar x note que se multiplicarmos a segunda equação por 2 obtemos coeficiente -8 em x, que soma com 8 da primeira para eliminar x. Faço isso:
Multiplicar a segunda equação por 2:
2(-4x+y)=2(-5)\quad\Longrightarrow\quad -8x+2y=-10.
Agora somo essa equação à primeira:
(8x-3y)+(-8x+2y)=7+(-10).]

Passo 5

Calcular a soma explicitamente:
8x-3y-8x+2y=7-10
(-y)=-3
y=3.
Então já temos y=3.

Passo 6

Agora volto a uma das equações originais para achar x. Uso a equação mais simples -4x+y=-5. Substituo y=3:
-4x+3=-5.
Isolando x:
-4x=-5-3
-4x=-8
x=2.
Portanto o ponto de interseção é (2,3).

Passo 7

Verificação rápida (importante na prova): substituir (2,3) nas duas equações para checar.
Na primeira:
8\cdot 2-3\cdot 3=16-9=7,
ok.
Na segunda:
-4\cdot 2+3=-8+3=-5,
ok.
Ambas satisfeitas, logo (2,3) é solução do sistema.

Passo 8

Comentário final sobre unicidade (versão algébrica): a matriz dos coeficientes é
\begin{pmatrix}8 & -3\\\\ -4 & 1\end{pmatrix}
e seu determinante é
\det=\;8\cdot 1-(-3)\cdot(-4)=8-12=-4\neq 0.
Determinante diferente de zero indica que a matriz é invertível e o sistema linear tem exatamente uma solução. Isso confirma a conclusão geométrica.

Resposta

(2,3)

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