Exercise 5. Grafique as retas
e
e conclúa que
sistema
tem única solução. Quál é essa solução?
Passo 1
O enunciado dá duas retas e pede para graficá‑las e concluir que o sistema associado tem solução única, e perguntar qual é essa solução.
Informações fornecidas:
- Reta
: . - Reta
: .
O que é pedido:
- Fazer o gráfico (ou pelo menos analisar geometricamente) de
e . - Concluir que o sistema
tem única solução.
3. Determinar qual é essa solução.
3. Determinar qual é essa solução.
Passo 2
Como se costuma grafar uma reta: escrever na forma inclinação‑intercepto
, onde
é a inclinação (slope) e
é o intercepto em
(o ponto onde a reta cruza o eixo
, isto é,
). A interpretação é:
-
diz quanto cresce quando aumenta uma unidade. -
é o valor de quando .
Vamos pôr cada equação nessa forma.
Passo 3
Para
:
isola‑se
:
Logo para
temos inclinação
e intercepto
.
Para
:
isola‑se
:
Logo para
temos inclinação
e intercepto
.
Observações para o gráfico (o suficiente para entender a posição das retas):
- Ambas são retas não verticais (podem ser escritas como
). - As inclinações são diferentes:
e . Como , as retas não são paralelas e, geometricamente, duas retas não paralelas no plano se cruzam exatamente em um ponto.
Portanto, já se pode concluir geometricamente que o sistema tem uma única solução (o ponto de interseção). Agora vamos achar esse ponto de interseção algébrica e verificar.
Passo 4
Explicando rapidamente o método de eliminação que vou usar: a ideia é combinar as duas equações linearmente (somar, subtrair ou multiplicar por constantes) de modo a eliminar uma variável, ficando uma equação com apenas a outra variável. Isso é rápido e fácil de fazer sem calculadora.
Começamos com as equações originais:
Para eliminar
note que se multiplicarmos a segunda equação por
obtemos coeficiente
em
, que soma com
da primeira para eliminar
. Faço isso:
Multiplicar a segunda equação por
:
Agora somo essa equação à primeira:
Passo 5
Calcular a soma explicitamente:
Então já temos
.
Passo 6
Agora volto a uma das equações originais para achar
. Uso a equação mais simples
. Substituo
:
Isolando
:
Portanto o ponto de interseção é
.
Passo 7
Verificação rápida (importante na prova): substituir
nas duas equações para checar.
Na primeira:
ok.
Na segunda:
ok.
Ambas satisfeitas, logo
é solução do sistema.
Passo 8
Comentário final sobre unicidade (versão algébrica): a matriz dos coeficientes é
e seu determinante é
Determinante diferente de zero indica que a matriz é invertível e o sistema linear tem exatamente uma solução. Isso confirma a conclusão geométrica.