Dica para a prova: sempre deixe claro o que significa “homogêneo” antes de concluir algo sobre b_i.]
Passo 4
Usar o fato de que X=(0,0,0) é solução: substituição direta (a técnica é simples e muito usada em provas).
Se X=(0,0,0) é solução, isso significa que ao substituir x_1=0, x_2=0, x_3=0 nas três equações, as igualdades ficam verdadeiras. Vamos fazer a substituição em cada uma:
Como b_1=0, b_2=0 e b_3=0, todos os termos constantes do sistema são zero. Pela definição do passo anterior, isso significa que o sistema é homogêneo.
Passo 6
Comentários didáticos e reforço (para usar na prova e fixar a intuição).
Intuição curta: o vetor nulo tem a vantagem de anular todos os termos lineares; se ao substituí-lo as equações só se mantêm verdadeiras quando os termos constantes também somam zero, então esses termos constantes obrigatoriamente são zero.
Exemplo rápido para contraste: a equação x+y+z=1 não admite (0,0,0) como solução porque 0+0+0\neq 1; por isso esse sistema com essa equação não é homogêneo. Já a equação x+y+z=0 admite (0,0,0) e é homogênea.
Observação geral: o mesmo argumento vale para qualquer sistema linear de n equações e n incógnitas (ou mesmo retangular): se o vetor nulo é solução então todos os termos constantes são zero, logo o sistema é homogêneo. Também vale o recíproco: todo sistema homogêneo admite sempre o vetor nulo como solução.