Exercise 7. Mostre que se X=(0,0,0) é solução do sistema de três equações com três incógnitas, então o sistema é homogêneo.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dá um sistema de três equações com três incógnitas e diz que X=(0,0,0) é uma solução desse sistema.
  • Pede para mostrar que, a partir dessa informação, o sistema é homogêneo.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O vetor solução fornecido é o vetor nulo (0,0,0).
  • Não há outros números ou figuras; só sabemos que esse vetor satisfaz as três equações.

Passo 2

Escrever uma forma geral do sistema (notação e o que cada símbolo significa).
Considere o sistema linear geral de três equações e três incógnitas escrito assim:
\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 = b_1,\\[4pt] a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 = b_2,\\[4pt] a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 = b_3. \end{cases}
Explicando os símbolos (para ficar claro como usar na prova):
  • x_1,x_2,x_3 são as incógnitas (no enunciado correspondem a x,y,z ou similar).
  • a_{ij} são os coeficientes (números associados a cada incógnita em cada equação).
  • b_1,b_2,b_3 são os termos constantes (os lados direitos das equações).]

Passo 3

Definição de “sistema homogêneo” — aula curta e direta.
Um sistema linear é chamado homogêneo se todos os termos constantes são zero, ou seja, se
b_1=0,\qquad b_2=0,\qquad b_3=0,
ou equivalentemente se o sistema pode ser escrito
\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 = 0,\\[4pt] a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 = 0,\\[4pt] a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 = 0. \end{cases}
Dica para a prova: sempre deixe claro o que significa “homogêneo” antes de concluir algo sobre b_i.]

Passo 4

Usar o fato de que X=(0,0,0) é solução: substituição direta (a técnica é simples e muito usada em provas).
Se X=(0,0,0) é solução, isso significa que ao substituir x_1=0, x_2=0, x_3=0 nas três equações, as igualdades ficam verdadeiras. Vamos fazer a substituição em cada uma:
Primeira equação:
a_{11}\cdot 0 + a_{12}\cdot 0 + a_{13}\cdot 0 = b_1.
O lado esquerdo simplifica para 0, portanto obtemos
0 = b_1,
ou seja b_1=0.
Segunda equação (mesma ideia):
a_{21}\cdot 0 + a_{22}\cdot 0 + a_{23}\cdot 0 = b_2 \quad\Rightarrow\quad 0 = b_2,
portanto b_2=0.
Terceira equação:
a_{31}\cdot 0 + a_{32}\cdot 0 + a_{33}\cdot 0 = b_3 \quad\Rightarrow\quad 0 = b_3,
portanto b_3=0.

Passo 5

Conclusão lógica — encadeando o que foi obtido.
Como b_1=0, b_2=0 e b_3=0, todos os termos constantes do sistema são zero. Pela definição do passo anterior, isso significa que o sistema é homogêneo.

Passo 6

Comentários didáticos e reforço (para usar na prova e fixar a intuição).
  • Intuição curta: o vetor nulo tem a vantagem de anular todos os termos lineares; se ao substituí-lo as equações só se mantêm verdadeiras quando os termos constantes também somam zero, então esses termos constantes obrigatoriamente são zero.
  • Exemplo rápido para contraste: a equação x+y+z=1 não admite (0,0,0) como solução porque 0+0+0\neq 1; por isso esse sistema com essa equação não é homogêneo. Já a equação x+y+z=0 admite (0,0,0) e é homogênea.
  • Observação geral: o mesmo argumento vale para qualquer sistema linear de n equações e n incógnitas (ou mesmo retangular): se o vetor nulo é solução então todos os termos constantes são zero, logo o sistema é homogêneo. Também vale o recíproco: todo sistema homogêneo admite sempre o vetor nulo como solução.

Resposta

O sistema é homogêneo.

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