In Exercises 35-38, solve the system using ei ther Gaussian elimination with back-substitution or Gauss-Jordan elimination.
36.
\begin{aligned} x+2 y+z & =8 \\\\ -3 x-6 y-3 z & =-21 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá um sistema de duas equações lineares com três incógnitas e pede para resolver o sistema:
\begin{aligned} x+2y+z &= 8,\\[4pt] -3x-6y-3z &= -21. \end{aligned}
Informações relevantes:
  • As equações são as duas linhas acima.
  • As incógnitas são x,\;y,\;z.
  • O objetivo é encontrar todas as soluções (x,y,z) que satisfazem ambas as equações, ou concluir que não existem soluções.]

Passo 2

Vou usar eliminação de Gauss (eliminação por linhas) porque é um procedimento direto para identificar se o sistema tem solução única, infinitas soluções ou é inconsistente. Breve explicação da ideia (passo-a-passo):
  • Representar o sistema como linhas (ou matriz aumentada) e usar operações elementares de linha: trocar linhas, multiplicar uma linha por um escalar não nulo, e somar a um linha um múltiplo de outra. Essas operações não mudam o conjunto de soluções.
  • O objetivo é obter zeros abaixo (ou acima) de um pivô para simplificar as equações. Se em algum momento surgir uma linha que representa 0= c com c\neq 0, isso indica contradição e então o sistema é inconsistente (sem solução).

Passo 3

Escrevo a matriz aumentada do sistema (primeira três colunas para x,y,z e última coluna para o lado direito):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 8\\[4pt] -3 & -6 & -3 & -21 \end{array}\right].
Aqui escolho o elemento 1 da primeira linha como pivô para eliminar x na segunda linha.]

Passo 4

Eliminação: faço R_2 \leftarrow R_2 + 3R_1 para zerar o primeiro elemento da segunda linha. Calculo termo a termo:
  • Entrada de x: -3 + 3\cdot 1 = 0.
  • Entrada de y: -6 + 3\cdot 2 = -6 + 6 = 0.
  • Entrada de z: -3 + 3\cdot 1 = -3 + 3 = 0.
  • Lado direito: -21 + 3\cdot 8 = -21 + 24 = 3.
A matriz resultante é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 8\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}\right].]

Passo 5

Interpretação da segunda linha transformada: ela representa a equação
0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = 3,
ou seja simplesmente 0 = 3. Isso é uma contradição lógica porque 0 nunca é igual a 3. Quando a eliminação produz uma linha do tipo 0 = c com c\neq 0, o sistema é inconsistente: não existe nenhum triplo (x,y,z) que satisfaça ambas as equações ao mesmo tempo.
Também dá para ver geometricamente: as duas equações representam planos em \mathbb{R}^3. Os vetores normais são (1,2,1) e (-3,-6,-3), que são múltiplos um do outro (logo os planos são paralelos), mas os termos independentes 8 e -21 não satisfazem a mesma proporcionalidade (pois -21\neq -3\cdot 8), então são planos paralelos distintos; planos paralelos distintos não se intersectam, logo nenhuma solução comum.

Resposta

O sistema é inconsistente; não existe solução.

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