In Exercises 35-38, solve the system using ei ther Gaussian elimination with back-substitution or Gauss-Jordan elimination.
36.
36.
Passo 1
O enunciado dá um sistema de duas equações lineares com três incógnitas e pede para resolver o sistema:
Informações relevantes:
- As equações são as duas linhas acima.
- As incógnitas são
. - O objetivo é encontrar todas as soluções
que satisfazem ambas as equações, ou concluir que não existem soluções.]
Passo 2
Vou usar eliminação de Gauss (eliminação por linhas) porque é um procedimento direto para identificar se o sistema tem solução única, infinitas soluções ou é inconsistente. Breve explicação da ideia (passo-a-passo):
- Representar o sistema como linhas (ou matriz aumentada) e usar operações elementares de linha: trocar linhas, multiplicar uma linha por um escalar não nulo, e somar a um linha um múltiplo de outra. Essas operações não mudam o conjunto de soluções.
- O objetivo é obter zeros abaixo (ou acima) de um pivô para simplificar as equações. Se em algum momento surgir uma linha que representa
com , isso indica contradição e então o sistema é inconsistente (sem solução).
Passo 3
Escrevo a matriz aumentada do sistema (primeira três colunas para
e última coluna para o lado direito):
Aqui escolho o elemento
da primeira linha como pivô para eliminar
na segunda linha.]
Passo 4
Eliminação: faço
para zerar o primeiro elemento da segunda linha. Calculo termo a termo:
- Entrada de
: . - Entrada de
: . - Entrada de
: . - Lado direito:
.
A matriz resultante é
Passo 5
Interpretação da segunda linha transformada: ela representa a equação
ou seja simplesmente
. Isso é uma contradição lógica porque
nunca é igual a
. Quando a eliminação produz uma linha do tipo
com
, o sistema é inconsistente: não existe nenhum triplo
que satisfaça ambas as equações ao mesmo tempo.
Também dá para ver geometricamente: as duas equações representam planos em
. Os vetores normais são
e
, que são múltiplos um do outro (logo os planos são paralelos), mas os termos independentes
e
não satisfazem a mesma proporcionalidade (pois
), então são planos paralelos distintos; planos paralelos distintos não se intersectam, logo nenhuma solução comum.
Resposta
O sistema é inconsistente; não existe solução.