Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa. \frac{d}{d x}\left|x^{2}+x\right|=|2 x+1|
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado:
Pede-se decidir se a afirmação\frac{d}{d x}\left|x^{2}+x\right|=|2 x+1|é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, justificar; se for falsa, justificar ou dar um contraexemplo.
Informação dada: a função dentro do valor absoluto é u(x)=x^{2}+x. Note que u(x)=x(x+1) tem zeros em x=0 e em x=-1. Essas são informações relevantes porque o valor absoluto costuma causar mudanças de expressão nessas raízes.
Passo 2
Lembrete didático (fórmula e ideias que vou usar) — derivada de valor absoluto, passo a passo:
Definição por partes do valor absoluto: para qualquer função u(x)\),
\[|u(x)|= \begin{cases} u(x), & \text{se } u(x)\ge 0,\\[4pt] -u(x), & \text{se } u(x)<0. \end{cases}Isso significa que, longe das raízes de u\], \(|u| é ou u ou -u.
Derivada por partes (aplicando a regra básica de derivação):
Se u é diferenciável e u(x_0)>0, então \dfrac{d}{dx}|u(x)|\big|_{x=x_0}=u'(x_0).
Se u é diferenciável e u(x_0)<0, então \dfrac{d}{dx}|u(x)|\big|_{x=x_0}=-u'(x_0).
Em termos compactos, para u(x)\neq 0,\frac{d}{dx}|u(x)| = \operatorname{sgn}(u(x))\,u'(x),onde \operatorname{sgn}(t)=1 se t>0 e \operatorname{sgn}(t)=-1 se t<0.
Atenção nas raízes de u (pontos onde u(x)=0): a derivada de |u| pode não existir aí. Um critério útil: se u(x_0)=0 e u'(x_0)\neq 0, então |u| não é diferenciável em x_0 (pois as derivadas laterais terão sinais opostos). Se u'(x_0)=0 pode ser diferenciável, depende do comportamento de ordem superior.]
Passo 3
Aplicando ao caso concreto: u(x)=x^{2}+x.
Calculo de u'(x):u'(x)=\frac{d}{dx}(x^{2}+x)=2x+1.
Zeros de u: resolvendo x^{2}+x=0 obtemos x=0 e x=-1. Portanto, os intervalos onde u tem sinal constante são:
x<-1: u(x)>0.
-1<x<0: u(x)<0.
x>0: u(x)>0.
Passo 4
Derivada de |x^{2}+x| por partes (para x\neq -1,0):
Se x<-1 ou x>0 (onde u(x)>0), então\frac{d}{dx}\left|x^{2}+x\right| = u'(x) = 2x+1.
Se -1<x<0 (onde u(x)<0), então\frac{d}{dx}\left|x^{2}+x\right| = -u'(x) = -(2x+1).
Em resumo, para x\neq -1,0,\frac{d}{dx}\left|x^{2}+x\right| = \operatorname{sgn}\big(x^{2}+x\big)\,(2x+1),que é igual a 2x+1 em duas faixas e a -(2x+1) na faixa -1<x<0.
Compare isso com o lado direito da afirmação, |2x+1|, que é sempre não negativo:
|2x+1|=2x+1 se 2x+1\ge 0 e |2x+1|=-(2x+1) se 2x+1<0.
Não há razão geral para que \operatorname{sgn}(x^{2}+x) seja igual a \operatorname{sgn}(2x+1) para todo x. Portanto as duas expressões não coincidem em geral. Para decidir definitivamente, basta um contraexemplo num ponto onde exista derivada e as expressões dêem sinais opostos.
Passo 5
Contraexemplo numérico simples (mostrando que a igualdade falha):
Escolha x=-\tfrac{1}{4}. Então:u\!\left(-\tfrac{1}{4}\right)=\left(-\tfrac{1}{4}\right)^{2}+\left(-\tfrac{1}{4}\right)=\tfrac{1}{16}-\tfrac{1}{4}=-\tfrac{3}{16}<0,logo estamos na faixa onde u(x)<0.
Calcula-se u'(x)=2x+1 em x=-\tfrac{1}{4}:u'\!\left(-\tfrac{1}{4}\right)=2\!\left(-\tfrac{1}{4}\right)+1=-\tfrac{1}{2}+1=\tfrac{1}{2}.
Como u(x)<0 aqui, a derivada da esquerda é\frac{d}{dx}\left|x^{2}+x\right|\Bigg|_{x=-\tfrac{1}{4}} = -u'\!\left(-\tfrac{1}{4}\right) = -\tfrac{1}{2}.
Já o lado direito da afirmativa é|2x+1|\Big|_{x=-\tfrac{1}{4}} = \left|\,\tfrac{1}{2}\right|=\tfrac{1}{2}.
Conclusão no ponto x=-\tfrac{1}{4}:\frac{d}{dx}\left|x^{2}+x\right|\Big|_{x=-\tfrac{1}{4}} = -\tfrac{1}{2} \quad\neq\quad \tfrac{1}{2} = |2x+1|\Big|_{x=-\tfrac{1}{4}}.Portanto a igualdade dada no enunciado é falsa.
Passo 6
Observação adicional sobre os pontos x=0 e x=-1:
Nessas raízes de u a derivada de |u| não existe, porque u'(0)=1\neq 0 e u'(-1)=-1\neq 0. Mostrando rapidamente para x=0:
Derivada à direita em 0: como para x>0 tem-se |u|=u, a derivada à direita é u'(0)=1.
Derivada à esquerda em 0: como para -1<x<0 tem-se |u|=-u, a derivada à esquerda é -u'(0)=-1.
Como as derivadas laterais são diferentes, |u| não é diferenciável em 0.
O mesmo ocorre em x=-1. Isso já contradiz a igualdade no enunciado também nesses pontos, pois o lado direito |2x+1| é bem definido (e igual a 1 nesses pontos), enquanto a derivada à esquerda da função à esquerda não existe.
Passo 7
Conclusão final e síntese didática:
Em geral, para u(x)=x^{2}+x,\frac{d}{dx}\left|x^{2}+x\right|=\operatorname{sgn}\big(x^{2}+x\big)\,(2x+1)\quad\text{quando }x\neq -1,0,e a derivada não existe em x=-1 e x=0.
A expressão |2x+1| é diferente disso em pontos onde \operatorname{sgn}(x^{2}+x) é distinto de \operatorname{sgn}(2x+1), e os contraexemplos mostram que isso realmente acontece. Logo a afirmação dada é falsa.