Determine whether each matrix is in row-echelon form. If it is, determine whether the matrix is also in reduced row-echelon form
c. \left[\begin{array}{rrrrr}1 & -5 & 2 & -1 & 3 \\\\ 0 & 0 & 1 & 3 & -2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{bmatrix} 1 & -5 & 2 & -1 & 3 \\\\ 0 & 0 & 1 & 3 & -2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
e pergunta duas coisas: (i) se A está em forma escalonada por linhas (row-echelon form); (ii) se, além disso, A está em forma escalonada reduzida por linhas (reduced row-echelon form). Vou verificar passo a passo usando as propriedades que definem cada forma.

Passo 2

Definição prática e checklist para testar se uma matriz está em forma escalonada por linhas (REF). Uma matriz está em REF se satisfaz todas estas três condições:
  1. Todas as linhas nulas (se houver) estão abaixo de todas as linhas não nulas.
  2. Em cada linha não nula, o primeiro elemento não nulo (chamado de entrada principal ou pivô daquela linha) aparece em uma coluna que é estritamente à direita do pivô da linha acima. Em outras palavras, os pivôs “avançam” para a direita conforme se desce na matriz.
  3. Todos os elementos abaixo de cada pivô são zeros (ou seja, em cada coluna de pivô, abaixo do pivô, só há zeros).
Vou aplicar essas três condições à matriz A.

Passo 3

Identificar os pivôs e checar as condições da REF.
  • Encontrar o primeiro elemento não nulo (pivô) em cada linha:
    • Linha 1: primeiro não nulo em \text{coluna }1 (valor 1).
    • Linha 2: primeiro não nulo em \text{coluna }3 (valor 1).
    • Linha 3: primeiro não nulo em \text{coluna }4 (valor 1).
    • Linha 4: primeiro não nulo em \text{coluna }5 (valor 1).
  • Verificações:
    1. Não há linhas nulas, logo a condição (1) está satisfeita.
    2. As colunas dos pivôs são 1,3,4,5. Essas posições estão estritamente crescendo da linha 1 para a linha 4 ( 1<3<4<5), então a condição (2) está satisfeita.
    3. Checar zeros abaixo de cada pivô:
      • Na coluna 1 (pivô da linha 1): as entradas nas linhas 2,3,4 são 0,0,0 — OK.
      • Na coluna 3 (pivô da linha 2): as entradas nas linhas 3,4 são 0,0 — OK.
      • Na coluna 4 (pivô da linha 3): a entrada na linha 4 é 0 — OK.
      • Na coluna 5 (pivô da linha 4): não há linhas abaixo — OK.
Portanto todas as três condições da REF são satisfeitas: A está em forma escalonada por linhas.

Passo 4

Definição e checklist para forma escalonada reduzida por linhas (RREF). Uma matriz está em RREF se:
  1. Está em REF (todas as propriedades de REF valem).
  2. Cada pivô é igual a 1.
  3. Cada pivô (agora necessariamente um 1) é o único elemento não nulo em sua coluna — ou seja, todos os elementos acima e abaixo de cada pivô são zeros.
Vou verificar essas condições adicionais em A.

Passo 5

Verificação das condições de RREF para A.
  • Já sabemos que A está em REF (Passo 3), então condição (1) de RREF vale.
  • Os pivôs que encontramos têm valores 1 nas colunas 1,3,4,5. Assim a condição (2) (pivôs iguais a 1) também vale.
  • Resta verificar se em cada coluna de pivô todas as outras entradas (acima e abaixo) são zero:
    • Coluna 1 (pivô na linha 1): acima não há linhas e abaixo são zeros — OK.
    • Coluna 3 (pivô na linha 2): olhar a entrada acima (linha 1, coluna 3) — essa entrada vale 2, que é diferente de zero. Logo a coluna 3 tem um não‑zero acima do pivô, o que viola a condição (3) de RREF.
    • Não é necessário checar as demais colunas de pivô para concluir que não está em RREF, mas para completar: coluna 4 tem entradas não nulas acima (por exemplo linha 1 coluna 4 é -1, linha 2 coluna 4 é 3); coluna 5 tem entradas não nulas acima (linha 1 coluna 5 é 3, linha 2 coluna 5 é -2, linha 3 coluna 5 é 4). Todas essas mostram que há não‑zeros acima dos pivôs nessas colunas.
Conclusão: embora os pivôs sejam 1, eles não são os únicos elementos não nulos em suas colunas (há elementos não nulos acima), portanto A não está em forma escalonada reduzida por linhas.

Passo 6

Comentário didático final e pequena demonstração (como fazer na prova): para transformar A numa matriz em RREF (procedimento Gauss–Jordan), usa-se operações elementares para zerar as entradas acima de cada pivô. Por exemplo, uma sequência simples de operações que zera as entradas acima dos pivôs nesta matriz é:
\begin{aligned} & R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2,\\\ & R_1 \leftarrow R_1 + 7R_3,\\\ & R_1 \leftarrow R_1 - 35R_4,\quad R_2 \leftarrow R_2 + 2R_4,\quad R_3 \leftarrow R_3 - 4R_4,\\\ & R_2 \leftarrow R_2 - 3R_3. \end{aligned}
Aplicando essas operações obtém-se a matriz
\begin{bmatrix} 1 & -5 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix},
que está em RREF. Isso ilustra o procedimento: sempre eliminar os não‑zeros acima dos pivôs (começando pelo pivô mais baixo e subindo) até que cada coluna de pivô contenha só o 1 do pivô.
Força aí — deu pra ver que A já está escalonada (REF) mas ainda precisa de eliminação nas colunas de pivô para virar reduzida (RREF).]

Resposta

Sim — A está em forma escalonada por linhas (row-echelon form).
Não — A não está em forma escalonada reduzida por linhas (reduced row-echelon form).

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