Exercs. 1-28: Calcule a derivada.
f(x)=\frac{\operatorname{tg} x}{1+x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \frac{d}{dx}\bigl(\frac{\tan x}{1+x^2}\bigr). O conteúdo principal aqui é a regra do quociente, e vamos precisar também da derivada de \tan x (que é \operatorname{sec}^2 x) e da derivada de 1+x^2 (que é 2x).

Passo 2

Definimos
u(x)=\tan x, \quad v(x)=1+x^2.
Pela regra do quociente,
\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{u}{v}\Bigr) =\frac{u'v-uv'}{v^2}.

Passo 3

Calculamos as derivadas de u e v:
u'(x)=\operatorname{sec}^2 x, \quad v'(x)=2x.

Passo 4

Substituindo na fórmula da regra do quociente, obtemos
f'(x) =\frac{\operatorname{sec}^2 x\,(1+x^2)-\tan x\cdot 2x}{(1+x^2)^2}.

Resposta

f'(x) =\frac{(1+x^2)\,\operatorname{sec}^2 x-2x\,\tan x}{(1+x^2)^2}.

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