Exercs. 1-34: Determine f^{\prime}(x) para f(x) dada.
\frac{x^{2}}{\ln x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=\frac{x^2}{\ln x}. Para isso vamos usar a regra do quociente, lembrando que a derivada de \ln x é \tfrac{1}{x}.

Passo 2

Definimos
u(x)=x^2,\quad v(x)=\ln x.
Então
u'(x)=2x,\quad v'(x)=\frac{1}{x},
e a regra do quociente diz:
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^2}.

Passo 3

Substituindo u, v e suas derivadas:
u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x) =2x\ln x - x^2\cdot\frac{1}{x}.

Passo 4

No numerador fazemos a simplificação
2x\ln x - x = x\,(2\ln x - 1).

Passo 5

Portanto a derivada fica
f'(x)=\frac{x\,(2\ln x - 1)}{(\ln x)^2}.

Resposta

f'(x)=\frac{x\,(2\ln x - 1)}{(\ln x)^2}

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