Exiba uma sequência de nove inteiros compostos consecutivos.

Passo 1

O enunciado pede que eu exiba uma sequência de nove inteiros compostos consecutivos.
Informações dadas: a única exigência é que sejam nove números inteiros, um após o outro (consecutivos), e que cada um deles seja composto (ou seja, não primo — tem um divisor inteiro maior que 1 e menor que ele mesmo). Não há outros dados numéricos no enunciado.

Passo 2

Idéia geral do método (explicação didática): vou usar um truque clássico com fatorial que garante uma sequência arbitrariamente longa de inteiros compostos consecutivos. Primeiro, o que é fatorial?
Definição: para um inteiro n\ge1,
n! = 1\cdot 2\cdot 3\cdots n.
Por exemplo, 4! = 1\cdot2\cdot3\cdot4 = 24.

Passo 3

Por que o truque funciona? Considere (m+1)!. Para cada inteiro k tal que 2\le k\le m+1, o número (m+1)! é divisível por k porque k é um dos fatores no produto 1\cdot2\cdot\cdots\cdot(m+1). Então
(m+1)! = k\cdot q
para algum inteiro q. Assim
(m+1)! + k = k\cdot q + k = k\cdot(q+1).
Isto mostra que k é um divisor de (m+1)!+k. Como q\ge1, tem-se q+1\ge2, logo k\cdot(q+1) é um produto de dois inteiros maiores que 1 (porque k\ge2 por hipótese), portanto (m+1)!+k é composto. Assim, os números
(m+1)!+2,\\ (m+1)!+3,\\ \dots,\\ (m+1)!+(m+1)
são m inteiros consecutivos e todos compostos.

Passo 4

Aplicando para m=9: tomamos (m+1)! = 10!. Primeiro calculemos \10!\ passo a passo (assim você consegue fazer à mão na prova):
1\cdot2=2,
2\cdot3=6,
6\cdot4=24,
24\cdot5=120,
120\cdot6=720,
720\cdot7=5040,
5040\cdot8=40320,
40320\cdot9=362880,
362880\cdot10=3628800.
Portanto
10! = 3628800.

Passo 5

Agora formamos os nove números consecutivos compostos usando 10!:
10!+2,\\\ 10!+3,\\ \dots,\\\ 10!+10.
Substituindo 10!=3628800, obtemos explicitamente:
3628802,\\\ 3628803,\\\ 3628804,\\\ 3628805,\\\ 3628806,\\\ 3628807,\\\ 3628808,\\\ 3628809,\\\ 3628810.
Para verificar um exemplo de por que cada um é composto, observe que para k entre 2 e 10 vale
3628800 + k = k\left(\frac{3628800}{k}+1\right),
e \frac{3628800}{k} é inteiro porque k divide 10!. Além disso \frac{3628800}{k}\ge1, então o fator \frac{3628800}{k}+1\ge2. Assim cada número é produto de dois inteiros maiores que 1, logo composto. Por exemplo,
3628802 = 2\cdot 1814401,\qquad 3628810 = 10\cdot 362881.

Passo 6

Conclusão: a sequência acima fornece nove inteiros consecutivos, todos compostos. É um método que dá sempre qualquer quantidade m de inteiros compostos consecutivos (basta usar (m+1)!) — útil para a prova: memorize a construção e, se pedirem m números compostos consecutivos, responda com (m+1)!+2,\dots,(m+1)!+(m+1).

Resposta

\,3628802,\\\ 3628803,\\\ 3628804,\\\ 3628805,\\\ 3628806,\\\ 3628807,\\\ 3628808,\\\ 3628809,\\\ 3628810

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