Exiba uma sequência de nove inteiros compostos consecutivos.
Passo 1
O enunciado pede que eu exiba uma sequência de nove inteiros compostos consecutivos.
Informações dadas: a única exigência é que sejam nove números inteiros, um após o outro (consecutivos), e que cada um deles seja composto (ou seja, não primo — tem um divisor inteiro maior que e menor que ele mesmo). Não há outros dados numéricos no enunciado.
Informações dadas: a única exigência é que sejam nove números inteiros, um após o outro (consecutivos), e que cada um deles seja composto (ou seja, não primo — tem um divisor inteiro maior que
Passo 2
Idéia geral do método (explicação didática): vou usar um truque clássico com fatorial que garante uma sequência arbitrariamente longa de inteiros compostos consecutivos. Primeiro, o que é fatorial?
Definição: para um inteiro ,
Definição: para um inteiro
Por exemplo,
.
Passo 3
Por que o truque funciona? Considere
. Para cada inteiro
tal que
, o número
é divisível por
porque
é um dos fatores no produto
. Então
para algum inteiro
. Assim
Isto mostra que
é um divisor de
. Como
, tem-se
, logo
é um produto de dois inteiros maiores que
(porque
por hipótese), portanto
é composto. Assim, os números
são
inteiros consecutivos e todos compostos.
Passo 4
Aplicando para
: tomamos
. Primeiro calculemos \10!\ passo a passo (assim você consegue fazer à mão na prova):
Portanto
Passo 5
Agora formamos os nove números consecutivos compostos usando
:
Substituindo
, obtemos explicitamente:
Para verificar um exemplo de por que cada um é composto, observe que para
entre
e
vale
e
é inteiro porque
divide
. Além disso
, então o fator
. Assim cada número é produto de dois inteiros maiores que
, logo composto. Por exemplo,
Passo 6
Conclusão: a sequência acima fornece nove inteiros consecutivos, todos compostos. É um método que dá sempre qualquer quantidade
de inteiros compostos consecutivos (basta usar
) — útil para a prova: memorize a construção e, se pedirem
números compostos consecutivos, responda com
.