Prove que todo primo, exceto 2 e 3 , é da forma
ou da forma
, onde k é um inteiro positivo.
Passo 1
O que o enunciado pede: provar que todo primo, exceto
e
, pode ser escrito na forma
ou
, onde
é um inteiro positivo.
Informações dadas (implícitas): estamos lidando com números inteiros positivos e com a noção de primalidade (um número primo tem exatamente dois divisores positivos: e ele mesmo). Não é pedido nada além dessa classificação dos primos em relação a múltiplos de
.
Informações dadas (implícitas): estamos lidando com números inteiros positivos e com a noção de primalidade (um número primo tem exatamente dois divisores positivos:
Passo 2
Ferramenta básica que vamos usar: o algoritmo da divisão por
. Ele diz que para qualquer inteiro positivo
existe um quociente inteiro
e um resto
com
tais que
O resto
é justamente a classe de
módulo
. Portanto todo número inteiro cai em uma das seis classes de restos:
. Vamos analisar cada caso para ver quais podem ser primos.
Passo 3
Caso
. Então
Isso significa que
é múltiplo de
, logo é múltiplo de
e de
. Para
temos que
é composto (divisível por
e por
), portanto não pode ser primo, exceto o possível caso
que também não é primo. Assim nenhum primo maior que
pode ter
.
Passo 4
Caso
. Então
Como
,
é divisível por
e maior que
, logo é composto. Portanto não é primo (qualquer primo par é
, que já foi excluído).
Caso
. Então
Novamente
é par e maior que
, portanto composto. Assim
também não produz primos além de
.
Passo 5
Caso
. Então
Como
,
é múltiplo de
. O único primo múltiplo de
é
próprio, já excluído. Logo nenhum primo maior que
tem
.
Passo 6
Restam os casos
e
. Se
então
que é exatamente a forma
com
. Se
então
que é da forma
com
. Para um primo
o quociente
satisfaz
, então
é um inteiro positivo em ambos os casos.
Passo 7
Conclusão lógica: ao dividir qualquer número inteiro por
sobram apenas os restos
. Mostramos que restos
implicam que o número é composto (ou é
ou
, que já excluímos). Portanto, se
é primo e
, o resto possível na divisão por
só pode ser
ou
. Isso significa exatamente que
é da forma
ou
para algum inteiro positivo
.
Resposta
Todo primo, exceto
e
, é da forma
ou da forma
, com
inteiro positivo.