Prove que todo primo, exceto 2 e 3 , é da forma 6 \mathrm{k}+1 ou da forma 6 \mathrm{k}-1, onde k é um inteiro positivo.

Passo 1

O que o enunciado pede: provar que todo primo, exceto 2 e 3, pode ser escrito na forma \,6k+1 ou \,6k-1, onde k é um inteiro positivo.
Informações dadas (implícitas): estamos lidando com números inteiros positivos e com a noção de primalidade (um número primo tem exatamente dois divisores positivos: 1 e ele mesmo). Não é pedido nada além dessa classificação dos primos em relação a múltiplos de 6.

Passo 2

Ferramenta básica que vamos usar: o algoritmo da divisão por 6. Ele diz que para qualquer inteiro positivo n existe um quociente inteiro q e um resto r com 0\le r\le 5 tais que
n=6q+r.
O resto r é justamente a classe de n módulo 6. Portanto todo número inteiro cai em uma das seis classes de restos: r=0,1,2,3,4,5. Vamos analisar cada caso para ver quais podem ser primos.

Passo 3

Caso r=0. Então
n=6q.
Isso significa que n é múltiplo de 6, logo é múltiplo de 2 e de 3. Para q\ge1 temos que n é composto (divisível por 2 e por 3), portanto não pode ser primo, exceto o possível caso n=6 que também não é primo. Assim nenhum primo maior que 3 pode ter r=0.

Passo 4

Caso r=2. Então
n=6q+2=2(3q+1).
Como 3q+1\ge1, n é divisível por 2 e maior que 2, logo é composto. Portanto não é primo (qualquer primo par é 2, que já foi excluído).
Caso r=4. Então
n=6q+4=2(3q+2).
Novamente n é par e maior que 2, portanto composto. Assim r=4 também não produz primos além de 2.

Passo 5

Caso r=3. Então
n=6q+3=3(2q+1).
Como 2q+1\ge1, n é múltiplo de 3. O único primo múltiplo de 3 é 3 próprio, já excluído. Logo nenhum primo maior que 3 tem r=3.

Passo 6

Restam os casos r=1 e r=5. Se r=1 então
n=6q+1,
que é exatamente a forma \,6k+1 com k=q. Se r=5 então
n=6q+5=6(q+1)-1,
que é da forma \,6k-1 com k=q+1. Para um primo n>3 o quociente q satisfaz q\ge1, então k é um inteiro positivo em ambos os casos.

Passo 7

Conclusão lógica: ao dividir qualquer número inteiro por 6 sobram apenas os restos 0,1,2,3,4,5. Mostramos que restos 0,2,3,4 implicam que o número é composto (ou é 2 ou 3, que já excluímos). Portanto, se n é primo e n\neq2,3, o resto possível na divisão por 6 só pode ser 1 ou 5. Isso significa exatamente que n é da forma \,6k+1 ou \,6k-1 para algum inteiro positivo k.

Resposta

Todo primo, exceto 2 e 3, é da forma 6k+1 ou da forma 6k-1, com k inteiro positivo.

Exercícios relacionados