Exprimir 100 como soma de dois inteiros positivos de modo que o primeiro seja divisível por 7 e o segundo, por 11
Passo 1
O problema pede: escrever
como soma de dois inteiros positivos, onde o primeiro é divisível por
e o segundo é divisível por
. Informações relevantes fornecidas:
- Soma dos dois inteiros:
. - Primeiro inteiro é múltiplo de
. - Segundo inteiro é múltiplo de
. - Ambos os inteiros devem ser positivos.
Passo 2
Vamos representar os números por variáveis que já incorporem a divisibilidade pedida. Seja
e
números inteiros positivos tais que:
A condição da soma vira a equação
Passo 3
Explicação rápida da estratégia: queremos inteiros
que satisfaçam a equação linear acima. Isso é um problema simples de equação Diofantina linear. Como
, existem soluções inteiras, e podemos encontrar uma solução particular usando aritmética modular (ou testando múltiplos de
). Vou usar congruências porque é direto e automático.
Passo 4
Passo para resolver pela congruência: reduzimos a equação módulo
para eliminar
. Da equação
temos, tomando módulo
,
Agora simplificamos
módulo
. Como
, temos
. Logo
Passo 5
Precisamos achar
tal que
; isto é, o inverso de
módulo
. Testando pequenos números ou lembrando que
e
, concluímos que
é o inverso de
módulo
. Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Portanto a menor solução positiva para
é
.
Passo 6
Com
voltamos à equação original para achar
:
Calculando
obtemos
. Então
Subtraindo
dos dois lados:
Logo
Passo 7
Verificamos que
e
são positivos e geram os inteiros:
E de fato
. Ambos respeitam a divisibilidade pedida.
Passo 8
Argumento de unicidade (por completude): a solução geral inteira da equação é
,
para
. Para
positivos precisamos
e
. A segunda desigualdade força
, e a primeira força
; combinando só vale
. Portanto a solução positiva é única:
.