Exprimir 100 como soma de dois inteiros positivos de modo que o primeiro seja divisível por 7 e o segundo, por 11

Passo 1

O problema pede: escrever 100 como soma de dois inteiros positivos, onde o primeiro é divisível por 7 e o segundo é divisível por 11. Informações relevantes fornecidas:
  • Soma dos dois inteiros: 100.
  • Primeiro inteiro é múltiplo de 7.
  • Segundo inteiro é múltiplo de 11.
  • Ambos os inteiros devem ser positivos.

Passo 2

Vamos representar os números por variáveis que já incorporem a divisibilidade pedida. Seja x e y números inteiros positivos tais que:
\text{o primeiro} = 7x
\text{o segundo} = 11y
A condição da soma vira a equação
7x+11y=100

Passo 3

Explicação rápida da estratégia: queremos inteiros x,y>0 que satisfaçam a equação linear acima. Isso é um problema simples de equação Diofantina linear. Como \gcd(7,11)=1, existem soluções inteiras, e podemos encontrar uma solução particular usando aritmética modular (ou testando múltiplos de 7). Vou usar congruências porque é direto e automático.

Passo 4

Passo para resolver pela congruência: reduzimos a equação módulo 11 para eliminar y. Da equação \;7x+11y=100\; temos, tomando módulo 11,
7x \equiv 100 \pmod{11}
Agora simplificamos 100 módulo 11. Como 100=9\cdot 11+1, temos 100\equiv 1\pmod{11}. Logo
7x \equiv 1 \pmod{11}

Passo 5

Precisamos achar x tal que 7x\equiv 1\pmod{11}; isto é, o inverso de 7 módulo 11. Testando pequenos números ou lembrando que 8\cdot 7=56 e 56\equiv 1\pmod{11}, concluímos que 8 é o inverso de 7 módulo 11. Multiplicando ambos os lados por 8 obtemos
x\equiv 8\cdot 1 \equiv 8 \pmod{11}
Portanto a menor solução positiva para x é x=8.

Passo 6

Com x=8 voltamos à equação original para achar y:
7\cdot 8 + 11y = 100
Calculando 7\cdot 8 obtemos 56. Então
56 + 11y = 100
Subtraindo 56 dos dois lados:
11y = 44
Logo
y = 4

Passo 7

Verificamos que x=8 e y=4 são positivos e geram os inteiros:
\text{primeiro} = 7x = 7\cdot 8 = 56
\text{segundo} = 11y = 11\cdot 4 = 44
E de fato 56+44=100. Ambos respeitam a divisibilidade pedida.

Passo 8

Argumento de unicidade (por completude): a solução geral inteira da equação é x=8+11t, y=4-7t para t\in\mathbb{Z}. Para x,y positivos precisamos 8+11t>0 e 4-7t>0. A segunda desigualdade força t\le 0, e a primeira força t\ge -\tfrac{8}{11}; combinando só vale t=0. Portanto a solução positiva é única: x=8,y=4.

Resposta

100 = 56 + 44

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