Existe alguma função f cujas derivadas parciais existam para todo (x, y) in R^2 e sejam tais que
partial fpartial x(x, y)=x+4 y e partial fpartial y(x, y)=3 x-y ?

Passo 1

Então, a gente tem uma função $ f(x, y) $ que tem derivadas parciais definidas para todo ponto $ (x, y) $ no plano real. As derivadas parciais dadas são:
f(x, y)
O objetivo aqui é descobrir se existe realmente uma função $ f $ que satisfaça essas condições. Para resolver isso, a gente vai precisar usar conhecimentos sobre derivadas parciais e condições de compatibilidade entre elas.

Passo 2

Primeiro, a gente sabe que se $ f $ tem derivadas parciais contínuas, as derivadas cruzadas devem ser iguais. Ou seja:
f
Vamos calcular essas derivadas cruzadas usando as expressões dadas.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de $ \frac{\partial f}{\partial x} $ em relação a $ y $:
partial fpartial x

Passo 4

Agora, calculando a derivada parcial de $ \frac{\partial f}{\partial y} $ em relação a $ x $:
partial fpartial y

Passo 5

Comparando as duas derivadas cruzadas:
partial^2 fpartial y partial x = 4 e partial^2 fpartial x partial y = 3
Como $ 4 \neq 3 $, as derivadas cruzadas não são iguais.

Resposta

Como as derivadas cruzadas não são iguais, não existe uma função $ f(x, y) $ que satisfaça as derivadas parciais dadas para todo $ (x, y) \in \mathbb{R}^{2} $.

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