Existe alguma função
cujas derivadas parciais existam para todo
e sejam tais que
Passo 1
Então, a gente tem uma função $ f(x, y) $ que tem derivadas parciais definidas para todo ponto $ (x, y) $ no plano real. As derivadas parciais dadas são:
O objetivo aqui é descobrir se existe realmente uma função $ f $ que satisfaça essas condições. Para resolver isso, a gente vai precisar usar conhecimentos sobre derivadas parciais e condições de compatibilidade entre elas.
Passo 2
Primeiro, a gente sabe que se $ f $ tem derivadas parciais contínuas, as derivadas cruzadas devem ser iguais. Ou seja:
Vamos calcular essas derivadas cruzadas usando as expressões dadas.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de $ \frac{\partial f}{\partial x} $ em relação a $ y $:
Passo 4
Agora, calculando a derivada parcial de $ \frac{\partial f}{\partial y} $ em relação a $ x $:
Passo 5
Comparando as duas derivadas cruzadas:
Como $ 4 \neq 3 $, as derivadas cruzadas não são iguais.
Resposta
Como as derivadas cruzadas não são iguais, não existe uma função $ f(x, y) $ que satisfaça as derivadas parciais dadas para todo $ (x, y) \in \mathbb{R}^{2} $.