Calcule o gradiente de
(isto Ă©, descubra as derivadas parciais de primeira ordem):
Passo 1
Então, a gente tem que calcular o gradiente da função $ f(x, y, z) = \cos \left(\frac{x+y}{1 - x y}\right) $. Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, onde a gente precisa saber como a função muda em relação a cada uma das suas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de primeira ordem em relação a $ x $, $ y $ e $ z $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o gradiente de uma função $ f(x, y, z) $ é um vetor que contém as derivadas parciais de $ f $ em relação a cada uma das suas variáveis. Ou seja,
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $.
A função é $ f(x, y, z) = \cos \left(\frac{x+y}{1 - x y}\right) $. Para derivar isso, usamos a regra da cadeia. Primeiro, identificamos o “interior” da função cosseno:
Então, $ f = \cos(u) $, e a derivada de $ \cos(u) $ em relação a $ x $ é:
Agora, vamos calcular $ \frac{\partial u}{\partial x} $:
Usamos a regra do quociente:
Portanto,
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial y} $.
Novamente, usamos a regra da cadeia:
Calculando $ \frac{\partial u}{\partial y} $:
Aplicando a regra do quociente:
Assim,
Passo 5
Por último, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ z $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial z} $.
Observamos que a função $ f(x, y, z) = \cos \left(\frac{x+y}{1 - x y}\right) $ não depende de $ z $. Portanto,
Resposta
O gradiente de $ f $ é dado por