(a) Existe alguma simetria na representação gráfica do gráfico de uma função par? Qual? E na representação do gráfico de uma função ímpar?
(b) Mostre que dada uma função
, podemos encontrar uma função
, que é uma função par, e uma função
, que é uma função ímpar, tal que
, para
.
(c) Quais das seguintes funções abaixo são pares e quais são ímpares:
(a)
, para
(b)
, para
(c)
, para
(d)
, para
(e)
, para
(f)
(b) Mostre que dada uma função
(c) Quais das seguintes funções abaixo são pares e quais são ímpares:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Passo 1
O enunciado trata de funções pares e ímpares. No item (a) pede as simetrias gráficas de uma função par e de uma ímpar. No item (b) pede mostrar que toda função
pode ser escrita como soma de uma função par
e de uma função ímpar
. No item (c) precisamos classificar seis funções como pares ou ímpares. Para isso vamos usar definições:
é par se
e ímpar se
.
Passo 2
(a) Se
é par, então para cada ponto
existe
. Isso significa simetria em relação ao eixo
. Se
é ímpar, então para cada
existe
, o que corresponde a uma rotação de
em torno da origem (simetria central na origem).
Passo 3
(b) Definimos
Mostramos que
é par:
E que
é ímpar:
Além disso,
Passo 4
(c) Para classificar cada função, calculamos
e comparamos:
Para
,
logo é ímpar.
Para
,
logo é par.
Para
, note que
, então
logo é par.
Para
,
logo é par.
Para
,
logo é ímpar.
Para
, em
,
logo é ímpar.
Resposta
(a) Função par: simetria em relação ao eixo
. Função ímpar: simetria central na origem.
(b) As funções
(b) As funções
satisfazem
.
(c) é ímpar;
é par;
é par;
é par;
é ímpar;
é ímpar.
(c)