(a) Existe alguma simetria na representação gráfica do gráfico de uma função par? Qual? E na representação do gráfico de uma função ímpar?
(b) Mostre que dada uma função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, podemos encontrar uma função g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, que é uma função par, e uma função h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, que é uma função ímpar, tal que f(x)=g(x)+h(x), para x \in \mathbb{R}.
(c) Quais das seguintes funções abaixo são pares e quais são ímpares:
(a) f(x)=x^{3}, para x \in \mathbb{R}
(b) f(x)=|x|, para x \in \mathbb{R}
(c) f(x)=x\left(x^{3}-x\right), para x \in \mathbb{R}
(d) f(x)=x^{4}+x^{2}, para x \in \mathbb{R}
(e) f(x)=\frac{x^{3}+x}{x^{2}+1}, para x \in \mathbb{R}
(f) f(x)=\operatorname{tg}(x), \operatorname{para} x \in\left(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)

Passo 1

O enunciado trata de funções pares e ímpares. No item (a) pede as simetrias gráficas de uma função par e de uma ímpar. No item (b) pede mostrar que toda função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} pode ser escrita como soma de uma função par g e de uma função ímpar h. No item (c) precisamos classificar seis funções como pares ou ímpares. Para isso vamos usar definições: f é par se f(-x)=f(x) e ímpar se f(-x)=-f(x).

Passo 2

(a) Se f é par, então para cada ponto \bigl(x,f(x)\bigr) existe \bigl(-x,f(-x)\bigr)=\bigl(-x,f(x)\bigr). Isso significa simetria em relação ao eixo y. Se f é ímpar, então para cada \bigl(x,f(x)\bigr) existe \bigl(-x,f(-x)\bigr)=\bigl(-x,-f(x)\bigr), o que corresponde a uma rotação de 180^\circ em torno da origem (simetria central na origem).

Passo 3

(b) Definimos
g(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2},
h(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}.
Mostramos que g é par:
g(-x)=\frac{f(-x)+f(x)}{2}=\frac{f(x)+f(-x)}{2}=g(x).
E que h é ímpar:
h(-x)=\frac{f(-x)-f(x)}{2}=-\frac{f(x)-f(-x)}{2}=-h(x).
Além disso,
g(x)+h(x) =\frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2} =f(x).

Passo 4

(c) Para classificar cada função, calculamos f(-x) e comparamos:
Para f(x)=x^3,
f(-x)=-x^3=-f(x),
logo é ímpar.
Para f(x)=|x|,
f(-x)=|{-x}|=|x|=f(x),
logo é par.
Para f(x)=x(x^3-x), note que f(x)=x^4-x^2, então
f(-x)=(-x)^4-(-x)^2=x^4-x^2=f(x),
logo é par.
Para f(x)=x^4+x^2,
f(-x)=(-x)^4+(-x)^2=x^4+x^2=f(x),
logo é par.
Para f(x)=\frac{x^3+x}{x^2+1},
f(-x)=\frac{-x^3-x}{x^2+1}=-\frac{x^3+x}{x^2+1}=-f(x),
logo é ímpar.
Para f(x)=\tan(x), em \bigl(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr),
f(-x)=\tan(-x)=-\tan(x)=-f(x),
logo é ímpar.

Resposta

(a) Função par: simetria em relação ao eixo y. Função ímpar: simetria central na origem.
(b) As funções
g(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2} \quad\text{(par)} \quad\text{e}\quad h(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2} \quad\text{(ímpar)}í
satisfazem f(x)=g(x)+h(x).
(c) x^3 é ímpar; |x| é par; x(x^3-x) é par; x^4+x^2 é par; \frac{x^3+x}{x^2+1} é ímpar; \tan(x) é ímpar.

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